Tìm giải pháp ít nhất cho một hệ phương trình tuyến tính

Làm thế nào là khó khăn để tìm giải pháp thưa thớt nhất cho một hệ phương trình tuyến tính?

Chính thức hơn, hãy xem xét vấn đề quyết định sau:

Sơ thẩm: Một hệ phương trình tuyến tính với các hệ số nguyên và một số .$c$

Câu hỏi: Có tồn tại một giải pháp cho hệ thống với ít nhất biến được gán cho không?$c$

Tôi cũng đang cố gắng xác định sự phụ thuộc vào . Đó là, có thể vấn đề là FPT với tham số .$c$$c$

Bất kỳ ý tưởng hoặc tài liệu tham khảo được thực sự đánh giá cao.

Hãy xem xét vấn đề $\text{MAX-LIN}(R)$ để tối đa hóa số phương trình tuyến tính thỏa mãn trên một số vòng $R$ , thường là NP-hard, ví dụ trong trường hợp $R=\mathbb{Z}$

Lấy một ví dụ của vấn đề này, $Ax=b$ trong đó $A$ là ma trận $n\times m$ . Đặt $k=m+1$ . Xây dựng một hệ tuyến tính mới $\tilde{A}\tilde{x} = \tilde{b}$ , trong đó $\tilde{A}$ là ma trận $kn \times (kn+m)$ , $\tilde{x}$ bây giờ là một vectơ chiều $(kn+m)$ và $\tilde{b}$là một vectơ $kn$ chiều:

Lưu ý rằng hệ thống này luôn được hài lòng bởi các vector . Trong thực tế, các mục nhập m đầu tiên của ˜ x có thể tùy ý và có một số vectơ giải pháp với tiền tố đó.$\tilde{x} = \begin{pmatrix} 0 & b & b & \cdots & b \end{pmatrix}^T$$m$$\tilde{x}$

Bây giờ tôi tuyên bố rằng phần của phương trình của A x = b là iff satisfiable tồn tại một giải pháp thưa thớt của ~ Một ~ x = ~ b trong đó có ít nhất δ n k số không. Điều này là do mọi hàng thỏa mãn của A x = b mang lại k số 0 tiềm năng khi x được mở rộng thành ˜ $\delta$$Ax=b$$\tilde{A}\tilde{x}=\tilde{b}$$\delta nk$$Ax=b$$k$$x$$\tilde{x}$

Vì vậy, nếu chúng ta tìm ra thưa thớt của giải pháp sparsest để , chúng tôi cũng đã tối đa hóa δ , bằng cách chia thưa thớt bởi k .$\tilde{A}\tilde{x}=\tilde{b}$$\delta$$k$

Do đó, tôi tin rằng vấn đề của bạn là NP-hard.

Vấn đề là NP-đầy đủ, bằng cách giảm từ vấn đề sau: Cho ma trận A với các mục nguyên và một vectơ số nguyên b với n mục, có tồn tại một vectơ 0-1 x với A x = b không?$m\times n$$A$$b$$n$$x$$Ax=b$

Với mọi tọa độ của vectơ x , $x_i$$x$

• giới thiệu phương trình mới x i + y i , k = 0 với k = 1 , Hoài , 100 ( n + m ) , và $100(n+m)$$x_i+y_{i,k}=0$$k=1,\ldots,100(n+m)$
• giới thiệu phương trình mới x i + z i , k = 1 với k = 1 , Lôi , 100 ( n + m ) . $100(n+m)$$x_i+z_{i,k}=1$$k=1,\ldots,100(n+m)$

Hơn nữa sử dụng hệ phương trình cũ .$Ax=b$

Tồn tại một giải pháp 0-1 cho hệ thống ban đầu , khi và chỉ khi hệ thống mới có một giải pháp trong đó ít nhất 100 ( n + m ) n biến bằng không.$Ax=b$$100(n+m)n$

Đây được gọi là vấn đề Vector Giải pháp Sparsest, và nó thực sự là NP-hard .

Vấn đề này là khó khăn , trong các cài đặt khác nhau. Như đã nêu trong các câu trả lời khác cho câu hỏi này, vấn đề là NP-đầy đủ trên các số nguyên.

Trong xử lý tín hiệu, ma trận và vectơ có các mục hợp lý và vấn đề này đôi khi được gọi là vấn đề tái cấu trúc thưa thớt . Trong cài đặt này, vấn đề là NP-đầy đủ (xem Định lý 1).

Trong lý thuyết mã hóa, các mục nhập là từ một trường hữu hạn và vấn đề này đôi khi được gọi là vấn đề giải mã khả năng tối đa . Trong cài đặt này, vấn đề là NP-đầy đủ và không trong thời gian phụ , giả sử giả thuyết thời gian theo cấp số nhân. Hơn nữa, theo một phiên bản trước của một bài báo về arXiv (xem Bổ đề C.2 trong phiên bản 1 của bài báo), vấn đề là W [1] -complete.