Đánh giá đa thức đối xứng

Đặt là một đa thức đối xứng , nghĩa là một đa thức sao cho cho tất cả và tất cả các hoán vị . Để thuận tiện, chúng ta có thể giả sử là một trường hữu hạn, để tránh giải quyết các vấn đề với mô hình tính toán. f ( x ) = f ( σ ( x ) ) x ∈ K n σ ∈ S n $f:\mathbb{K}^n \to \mathbb{K}$$f(x)=f(\sigma(x))$$x \in \mathbb{K}^n$$\sigma \in S_n$$\mathbb{K}$

Gọi biểu thị độ phức tạp của tính toán , nghĩa là độ phức tạp của thuật toán, với , trả về . Bằng cách nào đó chúng ta có thể mô tả , dựa trên các thuộc tính của ? Chẳng hạn, chúng ta có đảm bảo rằng là đa thức (tính bằng ) cho tất cả các đa thức đối xứng không?f x f ( x ) C ( f ) f C ( f ) n $C(f)$$f$$x$$f(x)$$C(f)$$f$$C(f)$$n$$f$

Trong trường hợp đặc biệt, có vẻ như (a) chúng ta có thể tính các đa thức tổng công suất theo thời gian và (b) chúng ta có thể tính các đa thức đối xứng cơ bản theo thời gian , sử dụng danh tính của Newton . Kết quả là, nếu là tổng đơn thức có trọng số trong đó không có biến nào được nâng lên công suất cao hơn 1 (nghĩa là nếu là đa tuyến), thì có thể được tính trong thời gian đa thức (vì nó có thể được biểu thị dưới dạng tổng trọng số của đa thức đối xứng sơ cấp). Chẳng hạn, khi$\text{poly}(n)$$\text{poly}(n)$f f K = G F ( 2 $f$$f$$f$$\mathbb{K}=GF(2)$, sau đó mọi đa thức đối xứng có thể được tính trong thời gian đa thức. Người ta có thể nói gì hơn thế này không?

Câu hỏi có vẻ khá mở kết thúc. Hoặc có lẽ bạn muốn có một đặc tính chính xác về độ phức tạp thời gian của bất kỳ đa thức đối xứng có thể có trên các trường hữu hạn?

Trong mọi trường hợp, ít nhất là theo hiểu biết của tôi, có một số kết quả nổi tiếng về độ phức tạp thời gian của các đa thức đối xứng điện toán:

1. Nếu là một đa thức đối xứng cơ bản trên một trường hữu hạn thì nó có thể được tính bằng các mạch T C 0 thống nhất có kích thước đa thức .$f$$TC^0$

2. Nếu là một đa thức đối xứng cơ bản trên trường 0 đặc trưng , thì nó có thể được tính bằng ba mạch đại số đồng nhất có kích thước đa thức (như bạn đã đề cập đến đa thức Newton; hoặc bằng công thức nội suy Lagrange); và vì vậy tôi tin rằng điều này sau đó chuyển thành các mạch Boolean thống nhất kích thước đa thức (mặc dù có lẽ không có độ sâu không đổi) (nhưng điều này có thể phụ thuộc vào lĩnh vực cụ thể mà bạn đang làm việc; vì đơn giản bạn có thể xem xét vòng số nguyên; số nguyên tôi đoán T C 0 là đủ để tính các đa thức đối xứng trong mọi trường hợp.)$f$$0$$TC^0$

3. Nếu là một đa thức đối xứng trên một trường hữu hạn thì sẽ có một hàm mũ theo hàm mũ theo ba đại số theo chiều sâu cho f (bởi Grigoriev và Razborov (2000) [theo Grigoriev và Karpinky 1998]). Nhưng, như đã đề cập trong 1 ở trên, điều này chỉ tương ứng với các giới hạn mạch Boolean có độ sâu không đổi (trong khi có các mạch Boolean thống nhất nhỏ trong T C 0 ; cũng có nghĩa là các đa thức có thể tính toán được trong thời gian đa thức). $f$$f$$TC^0$

Có lẽ có nhiều kết quả được biết đến về độ phức tạp thời gian của đa thức đối xứng ...