Đa thức rõ ràng trong 1 biến với độ phức tạp mạch siêu giới hạn?

Bằng cách đếm các đối số, người ta có thể chỉ ra rằng tồn tại đa thức bậc n trong 1 biến (nghĩa là có dạng có độ phức tạp mạch n. Ngoài ra, người ta có thể chỉ ra rằng một đa thức như yêu cầu ít nhất phép nhân (bạn cần điều đó chỉ để có được một mức độ đủ cao). Có bất kỳ ví dụ rõ ràng nào về đa thức trong 1 biến với mức siêu bội giới hạn về độ phức tạp không? (kết quả trên bất kỳ lĩnh vực nào sẽ rất thú vị) $a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_0)$ $x^n$ $\log_2 n$

— matt vội vàng
nguồn

Là những ví dụ bạn có trong đầu với độ phức tạp mạch

trên một trường hữu hạn? Tôi không thấy như thế nào một đối số đếm sẽ làm việc trên một lĩnh vực vô hạn, và trong rationals Tôi khá chắc chắn Paterson-Stockmeyer của

n

$n$

ràng buộc là chặt chẽ (xem thêm câu trả lời của tôi dưới đây).

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$

— Joshua Grochow

Giới hạn sqrt (n) mà bạn đề cập chỉ là giới hạn trên của số phép nhân (trên bất kỳ trường nào), nhưng nếu chúng ta tính cả phép cộng và phép nhân là các phép toán, thì chúng ta cần n hoạt động trên một trường vô hạn cho hầu hết mọi đa thức, chỉ bởi vì có n hệ số riêng biệt trong đa thức và không có cách nào để đánh giá tất cả các đa thức có thể có ít hơn n phép toán (tôi không chắc liệu đây có nên được gọi là đối số đếm hay không).

— matt vội vàng

Tôi nghĩ rằng bạn phải chính xác hơn một chút trong tuyên bố "không có cách nào để đánh giá tất cả các đa thức có thể có ít hơn n ops." Một cách để giải thích đó là: nếu chúng ta nghĩ về đa thức

là một đa thức không chỉ trong

, mà còn coi

là các biến (hoặc, tương tự, giả sử

là độc lập đại số), sau đó, kết quả mà điều này đòi hỏi phải bổ sung là Pan (1966) và không chỉ là một đối số đếm (mặc dù nó không quá khó). Mặt khác, tôi không chắc chắn kết quả mà bạn đề cập đến với tuyên bố đó.

\sum a_{i} x^{i}

$\sum a_i x^i$

x

$x$

a_{i}

$a_i$

a_{i}

$a_i$

— Joshua Grochow

Ý tôi là: mạch bao gồm các cổng cộng và nhân. Các đầu vào cho một cổng nhất định có thể là đầu ra của các cổng trước đó, hoặc x hoặc một số hằng số. Câu hỏi là: đối với một đa thức nhất định, chúng ta có thể tìm một mạch và sự lựa chọn các hằng số trong mạch đó để tính toán nó không? Nhưng, chúng ta có một không gian đa thức (n + 1), nhưng nếu chúng ta sửa cấu trúc của một mạch có ít hơn n cổng (theo "cấu trúc", tôi có nghĩa là cổng nào sử dụng đầu ra của cổng khác) và xem xét tất cả các lựa chọn có thể của hằng số này cung cấp ít hơn một không gian đa chiều n có thể được tính toán.

— matt vội vàng

Btw --- ấn tượng tôi nhận được là việc xây dựng các ví dụ rõ ràng trên R hoặc C mà không bị hạn chế thêm về các hệ số chủ yếu được giải quyết. Mặt khác, xây dựng các ví dụ rõ ràng trong đó tất cả các hệ số a_i là số nguyên và không tăng quá nhanh, nó vẫn mở? Có một ví dụ với tất cả các hằng số nguyên trong khảo sát mà bạn đề cập, nhưng chúng tăng gấp đôi theo cấp số nhân.

— matt vội vàng

$n$ $(a_1, \dotsc, a_n)$ $\prod_{i=1}^{n} (x - a_i)$ $\Omega(\sqrt{n})$

$\sqrt{n}$ $\sum_{i=1}^{n} 2^{2^{i}} x^{i}$ $\sum_{i=1}^{n} e^{2 \pi i / 2^{i}} x^{i}$ $\sum_{i=1}^{n} i^{r} x^{i}$ $r$

— Joshua Grochow
nguồn

Cảm ơn. Vì vậy, có vẻ như vấn đề mở là nếu bạn tính các phép cộng cũng là các phép toán, thì người ta có thể xây dựng một đa thức cần nhiều hơn các phép toán sqrt (n), với mục tiêu xây dựng một phép toán cần n phép toán. Bất kỳ kết quả đối với điều này? (Tôi nghi ngờ điều đó, bởi vì trong phương thức chỉ cần phép nhân sqrt (n), các phép cộng đưa ra một số phép nhân ma trận và điều này có thể làm giảm các giới hạn về độ phức tạp của phép nhân vô hướng ma trận)

— hastings matt