Đường truyền của bản vẽ phẳng của

Độ rộng đường dẫn của đồ thị lưỡng cực hoàn chỉnh với các bộ partite có kích thước và nhiều nhất là . Tôi quan tâm đến việc làm phẳng đồ thị này theo quy trình sau:$K_{3,n}$$3$$n$$3$

1. Vẽ nó trong mặt phẳng sao cho không có cạnh nào chứa một đỉnh trong phần bên trong của nó và sao cho không quá 2 cạnh cắt nhau tại bất kỳ điểm nào.
2. Thay thế mọi điểm giao nhau của hai cạnh bằng một đỉnh mới cấp 4.

Sau đó, đồ thị kết quả là rõ ràng phẳng. Mặc dù có độ rộng đường truyền không đổi, một số điều tra sơ bộ cho thấy rằng bất kể bản vẽ bạn sử dụng để làm phẳng , bạn không thể đảm bảo rằng đồ thị phẳng có độ rộng đường truyền không đổi độc lập với ; Tôi tin rằng độ rộng đường truyền của đồ thị phẳng phải tăng theo . Điều này được biết đến, hoặc ngụ ý bởi một số kết quả hiện có?$K_{3,n}$$K_{3,n}$$n$$n$

Mặt khác, tôi có một họ đồ thị có mức độ không đổi và độ rộng đường dẫn giới hạn, mà tôi có thể lập kế hoạch mà không làm tăng độ rộng đường truyền hơn một hằng số. Có một kết quả chung nói rằng điều này luôn luôn có thể đối với các biểu đồ mức độ giới hạn và độ rộng đường dẫn?

Một bản vẽ ngây thơ của sẽ có băng thông . Tôi nghĩ điều đó thật chặt chẽ và băng thông luôn luôn là . Đây là một lý lẽ tại sao.$K_{3,n}$$O(n)$$\Omega(n)$

(1) Sửa bản vẽ của . Không mất tính tổng quát, chúng ta có thể giả sử rằng không có hai cạnh sự cố nào giao nhau và không có hai cạnh nào giao nhau hai lần, vì nếu không, chúng ta có thể sửa đổi bản vẽ để loại bỏ các giao cắt này mà không làm tổn thương băng thông. Mỗi sơ đồ con của có một giao thoa, có cách mở rộng bất kỳ giao cụ thể nào đến một sơ đồ con và có đồ con. Do đó, số lượng giao cắt ít nhất là . (Trên thực tế, một giới hạn chặt chẽ khoảng được biết nhưng nó không thay đổi phần còn lại.)$K_{3,n}$$K_{3,3}$$K_{3,n}$$n-2$$K_{3,3}$$\tbinom{n}{3}$ $K_{3,3}$$n^2/6$$n^2/4$

(2) Đặt là tập hợp tất cả các cạnh trong và xem xét bất kỳ sự sắp xếp tuyến tính nào của các giao điểm trong toàn bộ bản vẽ. Lặp lại các bước sau:$S$$K_{3,n}$

(2a) Hãy xem xét những điểm bố trí rằng chia đôi cửa giữa các cặp cạnh trong . Xác định một cạnh của sẽ được "cắt" nếu tất cả các điểm giao nhau của nó với các cạnh khác trong nằm trong cùng một nửa của phép chia này và "không cắt" theo cách khác.$S$$S$$S$

(2b) Nếu có ít nhất các cạnh cắt của bản vẽ (đối với một số hằng số phù hợp ), thì mỗi trong số chúng đóng góp một cạnh của mặt phẳng cũng đi qua điểm phân chia của sắp xếp tuyến tính. Điều này cho thấy rằng sự sắp xếp tuyến tính có số phân tách đỉnh , nhưng vì độ rộng đường dẫn chỉ là số tách đỉnh tối thiểu của sắp xếp tuyến tính, nên độ rộng đường dẫn cũng là .$\epsilon n$$\epsilon$$\Omega(n)$$\Omega(n)$

(2c) Trong trường hợp còn lại, có rất ít cạnh bị cắt, do đó, hầu hết các giao điểm trong đến từ các cặp cạnh không cắt, cả hai đều phải nằm trên cùng một cạnh của đường cắt. Gần một nửa số - cửa trên mỗi bên của chia làm hai đoạn, và ít nhất một trong hai bên của chia làm hai đoạn có ít hơn một nửa trong số các cạnh trong . Thay bằng tập con của các cạnh ở bên đó và lặp lại.$S$$S$$S$$S$$S$

(3) Mỗi ​​lần lặp lại các bước (2a) - (2c) xấp xỉ gấp đôi mật độ giao cắt / cặp cạnh trong , vì số lượng giao cắt giảm một nửa và số cặp cạnh được chia một phần tư. Mật độ này đã bắt đầu không đổi và không thể vượt quá một. Do đó, sau một số lần lặp lại không đổi, bước (2b) sẽ thành công trong việc tìm số tuyến tính của các cạnh bị cắt, cho thấy rằng độ rộng đường dẫn ít nhất là tuyến tính.$S$

Đối với đề xuất của bạn rằng các biểu đồ đường dẫn giới hạn mức độ giới hạn có bố cục mà mặt phẳng của nó có giới hạn đường dẫn: điều này thực sự đúng.

Tìm một thứ tự tuyến tính của các đỉnh của đồ thị đã cho với số phân tách đỉnh bị giới hạn: nghĩa là, tại mỗi điểm trong một lần quét từ trái sang phải của trật tự nên có nhiều đỉnh bên trái của điểm quét có hàng xóm với đúng. Vẽ biểu đồ theo chiều quét từ trái sang phải theo thứ tự này, với các cạnh của nó được đặt trên các rãnh ngang, với mỗi đỉnh được hoàn thành một phần có một bộ các rãnh để các cạnh còn lại của nó được kết nối với bên phải. Do đó, tổng số bản nhạc là sản phẩm của mức độ với độ rộng đường dẫn,$O(1)$$O(1)$. Khi bạn đạt đến một đỉnh mới, bạn có thể thêm các đầu nối gần như thẳng đứng vào các rãnh của các đỉnh khác sẽ được kết nối với nó và các kết nối ngắn hơn với các rãnh đi của nó. Dưới đây là một ví dụ, với số phân tách đỉnh ba, độ ba và ba rãnh trên mỗi đỉnh.

Bố cục này, cũng có số phân tách giới hạn, bởi vì các giao điểm duy nhất nằm trên các rãnh nên có thể có nhiều nhất một đỉnh với một vùng lân cận không hoàn chỉnh trên mỗi rãnh. Vì vậy, độ rộng đường truyền của mặt phẳng cũng là và chính xác hơn là tỷ lệ thuận nhất với sản phẩm của mức độ và độ rộng đường dẫn ban đầu.$O(1)$