Liệt kê các loại cấu trúc liên kết của một DAG có nhãn đỉnh

Hãy là một đồ thị acyclic đạo diễn , và để cho λ là một chức năng ghi nhãn lập bản đồ mỗi đỉnh v ∈ V để một nhãn λ ( v ) trong một số bảng chữ cái hữu hạn L . Viết n : = | V | , Một loại topo của G là một song ánh σ từ { 1 , ... , n } để V (ví dụ, một Trật tự của$G = (V, E)$$\lambda$$v \in V$$\lambda(v)$$L$$n := |V|$$G$$\sigma$$\{1, \ldots, n\}$$V$ trong một chuỗi) sao cho bất cứ khi nào ( v , v ' ) ∈ E sau đó σ - 1 ( v ) < σ - 1 ( v ' ) (ví dụ, nếu có một cạnh từ v đến v ' sau đó v xảy ra trước khi v ' theo trình tự). Cácnhãncủa σ là từ σ ( 1 ) ⋯ σ ( n ) trong$V$$(v, v') \in E$$\sigma^{-1}(v) < \sigma^{-1}(v')$$v$$v'$$v$$v'$$\sigma$$\sigma(1) \cdots \sigma(n)$ .$L^n$

Với , tôi xin liệt kê các nhãn của các loại topo của G một cách hiệu quả. Sự phức tạp của việc liệt kê các nhãn của các loại tôpô là gì? Tất nhiên, vì có thể có nhiều theo cấp số nhân, tôi muốn nghiên cứu sự phức tạp như là một hàm của kích thước của đầu ra, hoặc về độ trễ. Cụ thể, phép liệt kê có thể được thực hiện với độ trễ đa thức không? (hoặc thậm chí trì hoãn liên tục?)$(G, \lambda)$$G$

Trong trường hợp tất cả các đỉnh của mang nhãn riêng biệt (hoặc tương đương, các đỉnh là { 1 , Vách , n } được dán nhãn), tôi biết rằng các nhãn có thể được liệt kê trong thời gian khấu hao không đổi, do kết quả này trong việc liệt kê các phần mở rộng tuyến tính của các posets (tương tự như liệt kê các loại cấu trúc liên kết của DAG). Tuy nhiên, khi các đỉnh được gắn nhãn tùy ý, có thể xảy ra trường hợp một số lượng lớn các loại cấu trúc liên kết có cùng nhãn, vì vậy bạn không thể liệt kê các loại cấu trúc liên kết G và tính toán nhãn của chúng để có được cách liệt kê nhãn hiệu quả . Trong thuật ngữ poset, DAG có nhãn ( G $G$$\{1, \ldots, n\}$$G$ có thể được xem như là một vị tríđược dán nhãnvà tôi không thể tìm thấy kết quả liệt kê về những điều đó.$(G, \lambda)$

Tôi đã biết độ cứng của một số vấn đề liên quan nhờ câu trả lời cho các câu hỏi khác của tôi ở đây. Đặc biệt, tôi biết rằng việc tìm nhãn tối thiểu theo từ vựng là NP-hard . Tôi cũng biết rằng việc quyết định xem một nhãn nhất định có thể đạt được bằng một số loại tôpô hay không là NP-hard (từ độ cứng của vấn đề này : đưa ra một chuỗi nhãn ứng viên , yêu cầu một loại G tôpô trong đó mỗi đỉnh phải xảy ra tại một vị trí nơi nhãn bên phải xảy ra trong $s$$G$$s$). Tuy nhiên, tôi không nghĩ rằng bất kỳ điều nào trong số này hàm ý độ cứng cho phép liệt kê, vì bạn có thể liệt kê theo bất kỳ thứ tự nào bạn thích (không nhất thiết phải là từ điển), và thuật toán liệt kê không thể được sử dụng để quyết định hiệu quả liệu nhãn có thể đạt được hay không, thậm chí với độ trễ liên tục (vì có thể có nhiều chuỗi theo cấp số nhân để liệt kê trước).

$s$$s$$v$$V$$i \in \{1, \ldots, n\}$$s_i \neq \lambda(v)$$v$$i$$G$$v$$i$, có thể được thực hiện rõ ràng trong PTIME. Nhưng khi bạn xuất ra càng nhiều nhãn, tôi không chắc làm thế nào để khái quát hóa phương pháp này.

$v$$u$$u$

$v_1,v_2,...,v_k$$u$$v_i$$v_j$$u$

$v_1,...,v_k$$O(n^2)$$\tilde{O}(n)$