Khi nào khoảng cách đối ngẫu của lập trình semidefinite (SDP) bằng 0?

10

Tôi đã không thể tìm thấy trong tài liệu một đặc điểm chính xác về sự biến mất của khoảng cách đối ngẫu SDP. Hoặc, khi nào "nhị nguyên mạnh" giữ?

Ví dụ, khi một người qua lại giữa Lasserre và SOS SDP, về nguyên tắc, người ta có một khoảng cách đối ngẫu. Tuy nhiên, bằng cách nào đó dường như có một số lý do "tầm thường" tại sao khoảng cách này không có.

Điều kiện của Slater dường như là đủ nhưng không cần thiết và nó áp dụng cho tất cả các chương trình lồi. Tôi hy vọng rằng đối với SDP nói riêng điều gì đó mạnh mẽ hơn có thể là sự thật. Tôi sẽ rất vui khi thấy bất kỳ ví dụ rõ ràng nào về việc sử dụng điều kiện của Slater để chứng minh sự biến mất của khoảng cách đối ngẫu.

— tốt nghiệp
nguồn

10

Có một lý thuyết phức tạp hơn về tính đối ngẫu đối với SDP là chính xác: không có "điều kiện bổ sung" như điều kiện của Slater. Điều này là do Ramana . (Đối với người khác mất trên sự tham gia của SOS này, xem [KS12] .) Thành thật mà nói, tôi chưa bao giờ cố gắng để hiểu được những giấy tờ và sẽ rất vui nếu ai đó dumbed chúng xuống cho tôi.

Một hậu quả đáng chú ý của công việc này là vấn đề kiểm tra xem một SDP nhất định có khả thi hay không là trong NP nếu và chỉ khi nó nằm trong coNP. (Tuy nhiên, tôi nghĩ rằng các chuyên gia mong đợi vấn đề không nằm ở đâu. Giới hạn trên tốt nhất được biết đến là PSPACE.)

— Ryan O'Dellell
nguồn

Cảm ơn rất nhiều vì đã trả lời rất hữu ích! Hãy để tôi tìm cái này! (Thật là một sự trùng hợp ngẫu nhiên trong những tuần qua tôi cũng đã cố gắng làm việc qua bài viết của bạn với Daniel Kane trên các mạng lưới sâu bên dưới! Đó là một bài báo giáo dục! Tôi đã tự hỏi nếu những gì bạn làm cho LTF cũng xảy ra nhiều hơn kích hoạt thực tế như ReLU.)

— tốt nghiệp

9

min {t r (C^{T} X) : t r (A_{1}^{T} X) = b_{1}, \dots, t r (A_{m}^{T} X) = b_{m}, X ⪰ 0},

$\min\{ \mathrm{tr}(C^T X): \mathrm{tr}(A_1^T X) = b_1, \ldots, \mathrm{tr}(A_m^T X) = b_m, X \succeq 0\},$

X ≻ 0

$X\succ 0$

t r (A_{i}^{T} X) = b_{i}

$\mathrm{tr}(A_i^T X) = b_i$

{X : X_{1, 1} = 1, \dots, X_{n, n} = 1, X ⪰ 0}

$\{X: X_{1,1} = 1, \ldots, X_{n,n} = 1, X\succeq 0\}$

Theo như hệ thống phân cấp Lasserre / Sum of Squares, Lasserre đã chỉ ra rằng nếu tập hợp khả thi được xác định bởi các ràng buộc đa thức có một điểm bên trong, thì không có khoảng cách đối ngẫu. Bạn có thể tìm thấy một điều kiện yếu hơn trong bài báo này .

— Sasho Nikolov
nguồn

Cảm ơn rất nhiều cho các tài liệu tham khảo! Vì vậy, điều kiện của Slater được chuyển đổi cũng là điều kiện cần thiết cho SDP? Hoặc có những điều kiện cần thiết khác? (Tôi sẽ sớm xem qua các giấy tờ mà bạn đã đề cập nhưng tôi tự hỏi liệu bạn có thể nói điều gì đó về ý nghĩa của "tình trạng yếu hơn" không? điều kiện nhưng đơn giản hơn điều kiện đủ trong bài báo đầu tiên?)

— tốt nghiệp

Đây là điều kiện Slater tiêu chuẩn, tôi chỉ chuyên về SDP, đơn giản hóa các vấn đề vì tất cả các ràng buộc đều có liên quan, ngoại trừ ràng buộc PSD. Điều kiện này là không cần thiết. Tôi cũng không nghĩ một trong hai điều kiện SoS là cần thiết, nhưng điều kiện "yếu hơn" không yêu cầu sự tồn tại của điểm bên trong, vì vậy có thể dễ dàng xác minh hơn.

— Sasho Nikolov

Cảm ơn! Vì vậy, một điều kiện cần thiết không được biết đến?

— tốt nghiệp

1

Có một đặc tính tốt (tôi nghĩ ....) là khi nào tính đối ngẫu mạnh hoặc không thành công đối với các hàm mục tiêu {\ em all}.

Chúng tôi nói rằng hệ thống semidefinite {\ em}

$(P_{SD}) \,\, \sum_{i=1}^m x_i A_i \preceq B$

đang bị cư xử nếu đây là một hàm mục tiêu mà SDP $c$

$\sup c^T x \,\, s.t. \,\, \sum_{i=1}^m x_i A_i \preceq B$

có giá trị tối ưu hữu hạn, nhưng SDP kép không có giải pháp có cùng giá trị: nghĩa là tính đối ngẫu mạnh đối với một số $c.$

$(P_{SD})$ được cư xử rất tốt nếu nó chưa bị cư xử. Đó là, cho mọi chức năng mục tiêu giữ nhị nguyên mạnh mẽ. (Tức là, với mọi mà SDP nguyên thủy có giá trị tối ưu hữu hạn, kép có một giải pháp có cùng giá trị). $c$

Tất nhiên, nếu điều kiện của Slater giữ, thì hoạt động tốt, nhưng điều ngược lại là không đúng. $(P_{SD})$

https://arxiv.org/pdf/1709.02423.pdf

Bài viết sẽ sớm ra mắt trong SIAM Review. Tôi hy vọng mọi người sẽ thích nó :)

— Quận 9
nguồn