Độ phức tạp của khả năng tiếp cận trong các hệ thống động lực tuyến tính trên các trường hữu hạn

Đặt $A$ là ma trận trên trường hữu hạn $\mathbb{F}_2 = \{0,1\}$ và $x$ , $y$ là vectơ của không gian $\mathbb{F}_2^n$ . Tôi quan tâm đến độ phức tạp tính toán của việc quyết định xem có tồn tại $t \in \mathbb{N}$ sao cho $A^t x = y$ , nghĩa là trong bài toán khả năng tiếp cận đối với các hệ động lực tuyến tính trên các trường hữu hạn.

Vấn đề rõ ràng là trong $\mathbf{NP}$ (đoán $0 \le t < 2^n$ và tính toán $A^t$ trong thời gian đa thức bằng bình phương lặp đi lặp lại). Tôi và các đồng nghiệp của tôi cũng đã có thể chứng minh $\mathbf{NP}$ -completeness của vấn đề có liên quan của việc thiết lập liệu có tồn tại $t \in \mathbb{N}$ sao cho $A^t x \ge y$ , nơi $\ge$ là bất bình đẳng componentwise.

Vấn đề này có vẻ khá tự nhiên, nhưng tôi không thể tìm thấy tài liệu tham khảo về độ phức tạp tính toán của nó trong tài liệu, có lẽ vì tôi không nhận thức được thuật ngữ chính xác. Bạn có biết vấn đề với đẳng thức là $\mathbf{NP}$ -complete hay nếu nó thực sự nằm trong $\mathbf{P}$ ?

cc.complexity-theory reference-request linear-algebra

— Antonio E. Porreca
nguồn

Người ta có thể giảm đến trường hợp

không thể đảo ngược. Quan sát những hình ảnh của

là một chuỗi nonincreasing của subspaces, và do đó cuối cùng sẽ trở thành một không gian liên tục

(trên thực tế trong vòng đầu tiên

bước). Rồi

là một biến đổi tuyến tính khả nghịch trên

. Người ta có thể dễ dàng kiểm tra các trường hợp đặc biệt khi

, sau đó nó chỉ còn lại để giải quyết vấn đề với

bị giới hạn ở

và

A

$A$

A^{1}, A^{2}, \dots

$A^1, A^2, \ldots$

W

$W$

n

$n$

A

$A$

W

$W$

t = 1, 2, \dots, n

$t=1,2,\ldots,n$

A

$A$

W

$W$

x

$x$ được thay thế bằng

A^{n} x

$A^n x$

— Andrew Morgan

Để rõ ràng, tôi sẽ khái quát câu hỏi của bạn vượt quá đặc trưng (với trường cơ sở ) thay vì trường hợp cụ thể của . Tôi sẽ lấy và là hằng số cố định; Tôi sẽ để nó cho người đọc tìm hiểu sự phụ thuộc chính xác vào các tham số này là gì, vì có một số sự đánh đổi có thể được thực hiện. Kết quả cuối cùng ở đây là vấn đề của bạn gần tương đương với vấn đề nhật ký rời rạc cho các trường hữu hạn của đặc trưng . $p > 0$ $\mathbb{F}_q$ $p=q=2$ $p$ $q$ $p$

Để cụ thể hơn, hãy để vấn đề nhật ký rời rạc thông thường trên các phần mở rộng của , được đưa ra một trường mở rộng của và , tìm bất kỳ số nguyên để hoặc báo cáo rằng không tồn tại . Đặt vấn đề nhật ký rời rạc mạnh mẽ trên các phần mở rộng của , được đưa ra như trước, tìm các số nguyên sao cho $\mathbb{F}_q$ $\mathbb{F}$ $\mathbb{F}_q$ $a,b \in \mathbb{F}$ $t$ $a = b^t$ $\mathbb{F}_q$ $\mathbb{F},a,b$ $z,m$ cho một số nguyên iffhoặc báo cáo rằng không cótồn tại. Sau đó, giảm sau đây tồn tại: $a = b^t$ $t$ $t = z \pmod{m}$ $t$

Có sự giảm ánh xạ xác định từ nhật ký rời rạc trên các phần mở rộng của cho vấn đề của bạn. $\mathbb{F}_q$
Có một thuật toán xác định, hiệu quả giúp giải quyết vấn đề của bạn khi được cấp quyền truy cập vào một máy tính tiên tri, vấn đề nhật ký rời rạc mạnh mẽ trên các phần mở rộng của . $\mathbb{F}_q$

Theo đó, tôi cho rằng không có khả năng ai đó sẽ đăng một bằng chứng về -hardness hoặc bằng chứng cho thấy vấn đề của bạn nằm ở trong tương lai gần. $\mathsf{NP}$ $\mathsf{P}$

Lưu ý: Vấn đề nhật ký rời rạc mạnh mẽ đối với các phần mở rộng của có thể được Turing giảm xuống dạng yếu hơn về mặt bề ngoài (mặc dù vẫn mạnh hơn so với vấn đề nhật ký rời rạc thông thường): Đưa ra trường mở rộng của , và , tìm ra ít nhất, không âm số nguyên sao cho . Điều này xuất phát từ thực tế là thứ tự của là một cộng với âm nhỏ nhất sao cho . $\mathbb{F}_q$ $\mathbb{F}$ $\mathbb{F}_q$ $a,b \in \mathbb{F}$ $t$ $a = b^t$ $b$ $t$ $b^{-1} = b^t$

Giảm đầu tiên: Khiếu nại là vấn đề nhật ký rời rạc thông thường trên các phần mở rộng của ánh xạ-giảm cho vấn đề này. Đây sau thực tế là nhân trong là một biến đổi tuyến tính khi chúng ta xem là một không gian vector chiều trên . Do đó, một câu hỏi có dạng trên trở thành trên , trong đó là vectơ chiều, và là một $\mathbb{F}_{q}$ $\mathbb{F}_{q^n}$ $\mathbb{F}_{q^n}$ $n$ $\mathbb{F}_q$ $a = b^t$ $\mathbb{F}_{q^n}$ $\vec{a} = B^t\vec{e}$ $\mathbb{F}_q$ $\vec{a},\vec{e}$ $n$ $B$ $n\times n$ ma trận, tất cả trên . Vectơ có thể dễ dàng tính toán từ , từ và chỉ là đại diện của , có thể được viết ra một cách hiệu quả . Điều này dường như vẫn là một trường hợp khó khăn của vấn đề nhật ký rời rạc chung, ngay cả với (tất nhiên là tăng ). Cụ thể, mọi người vẫn đang cạnh tranh để xem họ có thể tính toán được bao xa. $\mathbb{F}_q$ $\vec{a}$ $a$ $B$ $b$ $\vec{e}$ $1 \in \mathbb{F}_{q^n}$ $p=q=2$ $n$

Giảm thứ hai: Khiếu nại là vấn đề của bạn giảm xuống thành vấn đề nhật ký rời rạc mạnh mẽ trên các phần mở rộng của . Sự giảm này có một vài phần cho nó, vì vậy hãy tha thứ cho chiều dài. Đặt đầu vào là các vectơ chiều và ma trận , trên ; mục tiêu là tìm để . $\mathbb{F}_q$ $n$ $x,y$ $n\times n$ $A$ $\mathbb{F}_q$ $t$ $y = A^tx$

Ý tưởng cơ bản là viết trong Jordan Canonical tạo (JCF), từ đó chúng ta có thể giảm bớt thử nghiệm cho vấn đề log rời rạc mạnh mẽ với một số đại số đơn giản. $A$ $y = A^tx$

Một lý do để sử dụng một hình thức chính tắc dưới sự tương tự của ma trận là nếu , thì . Do đó, chúng ta có thể chuyển đổi thành , trong đó bây giờ ở định dạng đẹp hơn nhiều so với tùy ý . JCF là một hình thức đặc biệt đơn giản, cho phép phần còn lại của thuật toán. Vì vậy, từ bây giờ, giả sử rằng đã có trong JCF, nhưng cũng cho phép và có thể có các mục trong trường mở rộng của . $A = P^{-1}JP$ $A^t = P^{-1}J^tP$ $y = A^tx$ $(Py) = J^t(Px)$ $J$ $A$ $A$ $x,y,$ $A$ $\mathbb{F}_q$

Ghi chú: Có một số sự tinh tế phát sinh từ việc làm việc với JCF. Cụ thể, tôi sẽ giả định rằng chúng tôi có thể thực hiện các hoạt động tại hiện trường trong bất kỳ phần mở rộng nào của (dù lớn đến đâu) trong một bước và chúng tôi có thể tính toán JCF một cách hiệu quả. một tiên nghiệm , điều này là không thực tế, bởi vì làm việc với JCF có thể yêu cầu làm việc trong một trường mở rộng (trường tách của đa thức đặc trưng) của mức độ mũ. Tuy nhiên, với một số quan tâm và sử dụng thực tế là chúng ta đang làm việc trên một lĩnh vực hữu hạn, chúng ta có thể tránh được những vấn đề này. Cụ thể, chúng tôi sẽ liên kết với mỗi khối Jordan một trường mức độ tối đa trên $\mathbb{F}_q$ $\mathbb{F}'$ $n$ $\mathbb{F}_q$ sao cho tất cả các mục trong khối Jordan và các phần tử tương ứng của , đều nằm trong . Trường có thể khác nhau từ khối này sang khối khác, nhưng sử dụng' `biểu diễn hỗn hợp '' này cho phép mô tả hiệu quả về JCF, hơn nữa có thể tìm thấy hiệu quả. Thuật toán được mô tả trong phần còn lại của phần này chỉ cần hoạt động với một khối tại một thời điểm, miễn là nó hoạt động trường trong trường liên quan , thuật toán sẽ hiệu quả. [nhận xét cuối] $x$ $y$ $\mathbb{F}'$ $\mathbb{F}'$ $\mathbb{F}'$

Việc sử dụng JCF cung cấp cho chúng ta các phương trình có dạng sau, với mỗi phương trình tương ứng với một khối Jordan:

[\begin{matrix} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \\ ⋮ \\ y_{k - 1} \\ y_{k} \end{matrix}] = {[\begin{matrix} λ & 1 \\ λ & 1 \\ λ & 1 \\ ⋱ \\ λ & 1 \\ λ \end{matrix}]}^{t} [\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ ⋮ \\ x_{k - 1} \\ x_{k} \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \\ \vdots \\ y_{k-1} \\ y_{k} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \lambda & 1 & & & & \\ & \lambda & 1 & & & \\ & & \lambda & 1 & & \\ & & & \ddots & & \\ & & & & \lambda & 1 \\ & & & & & \lambda \\ \end{bmatrix}^t \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ \vdots \\ x_{k-1} \\ x_{k} \\ \end{bmatrix}$

Thuật toán sẽ xử lý từng khối riêng biệt. Trong trường hợp chung, đối với mỗi khối, chúng tôi sẽ có một truy vấn cho nhà tiên tri nhật ký rời rạc mạnh mẽ của chúng tôi, từ đó nhà tiên tri sẽ cho chúng tôi biết một điều kiện mô đun, . Chúng tôi cũng sẽ nhận được một bộ để phải giữ . Sau khi xử lý tất cả các khối, chúng tôi sẽ cần phải kiểm tra rằng có một sự lựa chọn của mà thỏa mãn các liên từ của tất cả những điều kiện này. Điều này có thể được thực hiện bằng cách đảm bảo có một phần tử chung trong tất cả các tập sao cho các phương trình và $t = z \pmod{m}$ $S \subseteq \{0,1,\cdots,p-1\}$ $\bigvee_{s\in S}\left[ t = s \pmod{p} \right]$ $t$ $s$ $S$ $t = s \pmod p$ $t = z_j \pmod{m_j}$ tất cả đồng thời hài lòng, trong đó phạm vi trên các khối. $j$

Cũng có một số trường hợp đặc biệt phát sinh trong suốt quá trình. Trong những trường hợp này, chúng tôi sẽ có được điều kiện của hình thức đối với một số giá trị của , hoặc có dạng đối với một số nguyên cụ thể , từ khối nhất định, hoặc chúng tôi có thể thậm chí thấy rằng không có có thể tồn tại . Đây có thể được kết hợp vào logic cho trường hợp chung mà không có vấn đề. $t > \ell$ $\ell$ $t = s$ $s$ $t$

Bây giờ chúng tôi mô tả các chương trình con để xử lý từng khối Jordan. Sửa một khối như vậy.

Bắt đầu bằng cách tập trung vào chỉ tọa độ cuối cùng trong khối. Điều kiện yêu cầu . Nói cách khác, đây là một ví dụ của vấn đề nhật ký rời rạc trong một số phần mở rộng trường của . Sau đó, chúng tôi sử dụng một lời sấm để giải quyết nó, kết quả là không có giải pháp, hoặc nếu không sẽ đưa ra một điều kiện mô đun hóa trên . Nếu "không có giải pháp" nào được trả về, chúng tôi sẽ trả về như vậy. Mặt khác, chúng ta có một điều kiện , tương đương với . $y = A^tx$ $y_k = \lambda^t x_k$ $\mathbb{F}_q$ $t$ $t = z \pmod{m}$ $y_k = \lambda^t x_k$

Để xử lý các tọa độ khác, chúng tôi bắt đầu với công thức sau (xem, ví dụ, tại đây ):

{[\begin{matrix} λ & 1 \\ λ & 1 \\ λ & 1 \\ ⋱ \\ λ & 1 \\ λ \end{matrix}]}^{t} = [\begin{matrix} λ^{t} & (\binom{t}{1}) λ^{t - 1} & (\binom{t}{2}) λ^{t - 2} & \dots & \dots & (\binom{t}{k - 1}) λ^{t - k + 1} \\ λ^{t} & (\binom{t}{1}) λ^{t - 1} & \dots & \dots & (\binom{t}{k - 2}) λ^{t - k + 2} \\ ⋱ & ⋱ & ⋮ & ⋮ \\ ⋱ & ⋱ & ⋮ \\ λ^{t} & (\binom{t}{1}) λ^{t - 1} \\ λ^{t} \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} \lambda & 1 & & & & \\ & \lambda & 1 & & & \\ & & \lambda & 1 & & \\ & & & \ddots & & \\ & & & & \lambda & 1 \\ & & & & & \lambda \\ \end{bmatrix}^t = \begin{bmatrix} \lambda^t & \binom{t}{1}\lambda^{t-1} & \binom{t}{2}\lambda^{t-2} & \cdots & \cdots & \binom{t}{k-1}\lambda^{t-k+1} \\ & \lambda^t & \binom{t}{1}\lambda^{t-1} & \cdots & \cdots & \binom{t}{k-2}\lambda^{t-k+2} \\ & & \ddots & \ddots & \vdots & \vdots\\ & & & \ddots & \ddots & \vdots\\ & & & & \lambda^t & \binom{t}{1}\lambda^{t-1}\\ & & & & & \lambda^t \end{bmatrix}$ \ ddots & \ ddots & \ vdots \\ & & & & \ lambda ^ t & \ binom {t} {1} \ lambda ^ {t-1} \\ & & & & & lambda ^ t \ end {bmatrix } Trước tiên, hãy quan tâm đến trường hợp

x_{k} = 0

$x_k = 0$ . Vì chúng ta đã có điều kiện mô đun ngụ ý , chúng ta có thể giả sử rằng cũng vậy. Nhưng sau đó, chúng ta chỉ có thể giảm tập trung vào các mục nhập đầu tiên của và , và hàm con trên cùng bên trái của khối Jordan. Vì vậy, từ bây giờ, giả sử rằng .

y_{k} = λ^{t} x_{k}

$y_k = \lambda^t x_k$

y_{k} = 0

$y_k = 0$

k - 1

$k-1$

x

$x$

y

$y$

(k - 1) \times (k - 1)

$(k-1)\times (k-1)$

x_{k} \neq 0

$x_k \ne 0$

Thứ hai, chúng tôi sẽ xử lý trường hợp trong đó . Trong trường hợp này, quyền hạn của khối Jordan có dạng đặc biệt và buộc đối với một số , hoặc nếu , không có điều kiện nào khác. Tôi sẽ không tin vào các trường hợp, nhưng đủ để nói rằng mỗi trường hợp có thể được kiểm tra một cách hiệu quả. (Ngoài ra, chúng tôi có thể giảm đến trường hợp không thể đảo ngược; xem nhận xét của tôi về câu hỏi.) $\lambda = 0$ $t = z$ $z \le k$ $t > k$ $A$

Cuối cùng, chúng tôi đến trường hợp chung. Vì chúng ta đã có điều kiện mô đun ngụ ý rằng , chúng ta có thể giả sử điều kiện đó giữ và sử dụng làm điểm thay thế cho . Tổng quát hơn, chúng ta có thể sử dụng để thể hiện . Vì vậy, chúng ta cần kiểm tra xem hệ thống sau có giữ một số lựa chọn : $y_k = \lambda^t x_k$ $y_k x_k^{-1}$ $\lambda^t$ $y_kx_k^{-1}\lambda^{-z}$ $\lambda^{t-z}$ $t$

[\begin{matrix} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \\ ⋮ \\ y_{k - 1} \\ y_{k} \end{matrix}] = [\begin{matrix} y_{k} x_{k}^{- 1} & (\binom{t}{1}) y_{k} x_{k}^{- 1} λ^{- 1} & (\binom{t}{2}) y_{k} x_{k}^{- 1} λ^{- 2} & \dots & \dots & (\binom{t}{k - 1}) y_{k} x_{k}^{- 1} λ^{- (k - 1)} \\ y_{k} x_{k}^{- 1} & (\binom{t}{1}) y_{k} x_{k}^{- 1} λ^{- 1} & \dots & \dots & (\binom{t}{k - 2}) y_{k} x_{k}^{- 1} λ^{- (k - 2)} \\ ⋱ & ⋱ & ⋮ & ⋮ \\ ⋱ & ⋱ & ⋮ \\ y_{k} x_{k}^{- 1} & (\binom{t}{1}) y_{k} x_{k}^{- 1} λ^{- 1} \\ y_{k} x_{k}^{- 1} \end{matrix}] [\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ ⋮ \\ x_{k - 1} \\ x_{k} \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \\ \vdots \\ y_{k-1} \\ y_{k} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} y_kx_k^{-1} & \binom{t}{1}y_kx_k^{-1}\lambda^{-1} & \binom{t}{2}y_kx_k^{-1}\lambda^{-2} & \cdots & \cdots & \binom{t}{k-1}y_kx_k^{-1}\lambda^{-(k-1)} \\ & y_kx_k^{-1} & \binom{t}{1}y_kx_k^{-1}\lambda^{-1} & \cdots & \cdots & \binom{t}{k-2}y_kx_k^{-1}\lambda^{-(k-2)} \\ & & \ddots & \ddots & \vdots & \vdots\\ & & & \ddots & \ddots & \vdots\\ & & & & y_kx_k^{-1} & \binom{t}{1}y_kx_k^{-1}\lambda^{-1}\\ & & & & & y_kx_k^{-1} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ \vdots \\ x_{k-1} \\ x_{k} \\ \end{bmatrix}$ y_kx_k ^ {- 1} \ end {bmatrix} \ started {bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ \ vdots \\ x_ {k-1} \\ x_ {k} \ \ end {bmatrix} Quan sát điều đó phương trình giữ chỉ phụ thuộc vào ; điều này là do sự phụ thuộc vào chỉ là đa thức,

t (\mod p)

$t \pmod{p}$

t

$t$

t

$t$ phải là một số nguyên và các phương trình trên nằm trên một trường đặc trưng . Do đó, chúng tôi chỉ có thể thử từng giá trị của . Tập chúng tôi sẽ trả về chỉ là các lựa chọn của mà hệ thống hài lòng.

p

$p$

t \in {0, 1, \dots, p - 1}

$t \in \{0,1,\ldots,p-1\}$

S

$S$

t

$t$

Vì vậy, bây giờ, ngoại trừ một số trường hợp đặc biệt, chương trình con theo từng khối đã tìm thấy một điều kiện mô đun và một bộ để một trong số phải giữ cho một số . Những điều kiện này tương đương với trong khối Jordan cụ thể này. Vì vậy, chúng tôi trả lại những thứ này từ các chương trình phụ. Các trường hợp đặc biệt kết luận rằng không có tồn tại (trong trường hợp đó, công ty con ngay lập tức trả về một dấu hiệu cho điều đó), hoặc nếu không chúng ta có điều kiện mô đun và một số điều kiện đặc biệt như cho một số nguyên , hoặc cho một số nguyên $t = a \pmod{m}$ $S$ $t = s \pmod{p}$ $s \in S$ $y = A^tx$ $t$ $t = a \pmod{m}$ $t = s$ $s$ $t > \ell$ $\ell$ . Trong mọi trường hợp, các điều kiện liên quan đều tương đương với trong khối Jordan này. Vì vậy, như đã đề cập ở trên, chương trình con chỉ trả về các điều kiện này. $y = A^tx$

Điều này kết luận đặc điểm kỹ thuật của chương trình con mỗi khối và toàn bộ thuật toán. Đó là tính đúng đắn và hiệu quả theo sau cuộc thảo luận trước.

Các phần phụ với việc sử dụng JCF trong lần giảm thứ hai: Như đã đề cập trong phần giảm thứ hai, có một số phần phụ phát sinh khi làm việc với JCF. Có một vài quan sát để giảm thiểu những vấn đề này:

Mở rộng các trường hữu hạn là bình thường . Điều này có nghĩa rằng nếu là một một không thể rút gọn đa thức trên , sau đó bất kỳ phần mở rộng của chứa một thư mục gốc của chứa tất cả gốc rễ của . Nói cách khác, trường phân tách của một đa thức không thể thay đổi của độ có độ chỉ trên . $P$ $\mathbb{F}_q$ $\mathbb{F}_q$ $P$ $P$ $P$ $d$ $d$ $\mathbb{F}_q$
Có một sự khái quát hóa của hình thức kinh điển Jordan, được gọi là hình thức kinh điển hợp lý chính (PRCF), không yêu cầu mở rộng trường được viết ra. Cụ thể, nếu là ma trận có các mục trong , thì chúng ta có thể viết cho một số ma trận với các mục trong , trong đó hơn nữa là đang ở PRCF. Ngoài ra, nếu chúng tôi giả vờ rằng các mục sống trong một trường kéo dài có chứa tất cả các giá trị riêng của , thì $A$ $\mathbb{F}_q$ $A = P^{-1}QP$ $P,Q$ $\mathbb{F}_q$ $Q$ $A$ $\mathbb{F}'$ $\mathbb{F}_q$ $A$ $Q$ thực tế sẽ có trong JCF. Do đó, chúng ta có thể xem tính toán JCF của như một trường hợp đặc biệt của tính toán PRCF. $A$
Sử dụng hình thức của PRCF, chúng ta có thể tính toán JCF của như $A$
1. tính toán PRCF của qua $A$ $\mathbb{F}_q$
2. tính toán PRCF của từng khối (mượn ký hiệu từ bài viết Wikipedia) trong PRCF của , qua trường mở rộng , trong đó được chọn để chứa tất cả các giá trị riêng của $C$ $A$ $\mathbb{F}'$ $\mathbb{F}'$ $C$
Lợi thế chính của yếu tố này là các đa thức đặc trưng của các khối đều sẽ không thể thay đổi được và do đó, bằng quan sát đầu tiên của chúng tôi, chúng tôi có thể chọn để có kích thước bằng (nhiều nhất là ) trên . Nhược điểm là bây giờ chúng ta phải sử dụng các trường mở rộng khác nhau để thể hiện từng khối của JCF, vì vậy việc biểu diễn là không điển hình và phức tạp. $C$ $\mathbb{F}'$ $C$ $n$ $\mathbb{F}_q$

Do đó, với khả năng tính toán PRCF hiệu quả, chúng ta có thể tính toán mã hóa phù hợp của JCF một cách hiệu quả và mã hóa này để có thể thực hiện với bất kỳ khối cụ thể nào của JCF trong trường mở rộng tối đa trên . $n$ $\mathbb{F}_n$

Đối với tính toán PRCF một cách hiệu quả, các giấy " Một Rational Canonical Mẫu Algorithm " (KR Matthews, Toán. Bohemica 117 (1992) 315-324) đưa ra một thuật toán hiệu quả để tính toán PRCF khi thừa số của đa thức đặc trưng của được biết đến . Đối với đặc tính cố định (như chúng ta có), việc bao gồm các đa thức đơn biến trên các trường hữu hạn có thể được thực hiện trong thời gian đa thức xác định (xem ví dụ: " Thuật toán nhân tử mới cho đa thức trên các trường hữu hạn " (H. Niederreitter và R. Gottfert, Math. Tính toán 64 (1995) 347-353).), Vì vậy PRCF có thể được tính toán hiệu quả. $A$

— Andrew Morgan
nguồn

JCF có thể được tính toán hiệu quả không? Dù sao, sự tồn tại của nó có thể yêu cầu mở rộng lĩnh vực.

— Emil Jeřábek

@ EmilJeřábek Cảm ơn- Tôi cho rằng tôi đã làm việc theo giả định ngầm rằng nó rất dễ, nhưng tôi thực sự không biết chi tiết cụ thể. Nó dường như có liên quan mạnh mẽ đến việc bao thanh toán các đa thức đơn biến trên các trường hữu hạn, có thể được thực hiện đủ hiệu quả cho các mục đích trên, ít nhất là theo Wikipedia . ...

— Andrew Morgan

Vì vậy, dự đoán của tôi là JCF có thể được tìm thấy một cách hiệu quả, nhưng tôi không hoàn toàn chắc chắn. Bạn đề cập đến việc phải mở rộng trường - điều này là cần thiết cho việc giảm (nhật ký rời rạc trên các trường hữu hạn có kích thước không đổi là dễ dàng), vì vậy nó sẽ không gây ngạc nhiên. Tôi lo lắng về mức độ của phần mở rộng - trong khi các giá trị riêng chỉ có độ , các giá trị và là sự kết hợp tuyến tính của các quyền hạn của giá trị riêng, vì vậy chúng có thể cần phải sống trong một trường có kích thước. Tôi sẽ ghi lại những cạm bẫy có thể có trong câu trả lời của mình, mặc dù tôi nghĩ nó vẫn đóng góp đủ ý tưởng để tồn tại.

n

$n$

x_{i}

$x_i$

y_{i}

$y_i$

n!

$n!$

— Andrew Morgan

Đúng. Các phần tử sống trong trường phân tách của đa thức đặc trưng của ma trận, có thể là đa thức tùy ý bậc n, do đó trường tách có thể có mức độ cao gần bằng (nếu tính toán của tôi là đúng). Nhưng có lẽ điều này có thể bị phá vỡ bằng cách nào đó. Chúng ta hãy nhân tố char poly (ngay cả yếu tố mức độ khác biệt là đủ). Bằng cách nào đó chúng ta có thể xác định không gian eigensp tương ứng với rễ của từng yếu tố? Đó là, thay vì JCF đầy đủ, chúng tôi sẽ có được một ma trận đường chéo khối trên trường ban đầu, trong đó mỗi khối sẽ có giá trị riêng ...

\exp (\sqrt{n \log n})

$\exp(\sqrt{n\log n})$

— Emil Jeřábek

... Trong một phần mở rộng của mức độ tối đa . Sau đó, chúng tôi có thể xử lý từng khối riêng biệt. (Đây chỉ là một ý tưởng mơ hồ, tôi đã không cố gắng thực hiện nó.)

n

$n$

— Emil Jeřábek