Có một thuật toán xấp xỉ hệ số không đổi cho bài toán tô màu hình chữ nhật 2D không?

Vấn đề chúng tôi xem xét ở đây là sự mở rộng của vấn đề tô màu khoảng thời gian nổi tiếng. Thay vì các khoảng, chúng tôi xem xét các hình chữ nhật có các cạnh song song với các trục. Mục tiêu là tô màu các hình chữ nhật bằng cách sử dụng số lượng màu tối thiểu sao cho hai hình chữ nhật chồng chéo được gán các màu khác nhau.

Vấn đề này được biết đến là NP-hard. Xin Han, Kazuo Iwama, Rolf Klein và Andrezej Lingas (xấp xỉ bộ độc lập tối đa và tô màu đỉnh tối thiểu trên đồ thị hộp) đã đưa ra xấp xỉ O (log n). Có một thuật toán gần đúng tốt hơn?

Chúng tôi biết rằng vấn đề tô màu khoảng được giải quyết trong thời gian đa thức bằng thuật toán phù hợp đầu tiên bằng cách xem xét các khoảng theo các điểm cuối bên trái của chúng. Tuy nhiên, thuật toán trực tuyến phù hợp đầu tiên có tính cạnh tranh 8 khi các khoảng xuất hiện theo thứ tự tùy ý.

Hiệu suất của thuật toán phù hợp đầu tiên cho vấn đề tô màu hình chữ nhật là gì? Điều gì xảy ra với thuật toán phù hợp đầu tiên khi các hình chữ nhật xuất hiện theo các cạnh trái (dọc) của chúng?

Cảm ơn trước sự giúp đỡ nào về điều này.

$\Omega(\log n)$$C(i)$$i$$i$$C(1)$$C(2)$

$C(k)$$C(1), \ldots, C(k-1)$

$k$$C(k)$$C(k)$$2$$C(k)$$2^{O(k)}$$\Omega( \log n )$

$O( \log n)$

Theo tôi biết, điều này không được biết đến. Một bài báo cũ của Asplund và Grunbaum (1960ish) cho thấy rằng nếu số clique là 2, thì số màu tối đa là 6 (và số này là chặt chẽ). Tôi nghĩ rằng thật dễ dàng để đưa ra các ví dụ trong đó khoảng cách cho sự phù hợp đầu tiên lớn hơn bất kỳ hằng số nào, vì cây có thể được biểu thị bằng biểu đồ giao nhau của hình chữ nhật và cây yêu cầu màu log n bằng bất kỳ thuật toán trực tuyến nào.

Tôi nghĩ rằng giấy Asplund, giấy Grunbaum hoặc các giấy tờ mới hơn cũng cho thấy rằng số lượng màu sắc của đồ thị giao nhau hình chữ nhật nhiều nhất là O (k ^ 2), trong đó k là kích thước của cụm sao tối đa ... tuy nhiên, không biết ví dụ yêu cầu nhiều hơn số tuyến tính trong k số màu.