Sự lưỡng phân của phổ của đồ thị có hướng

So với phổ của đồ thị vô hướng, tương ứng với ma trận đối xứng, phổ của đồ thị có hướng không được biết đến nhiều:

Được biết, đồ thị có hướng có ma trận kề có giá trị riêng là nhị phân nếu là một chu kỳ. Điều này diễn ra bằng cách sắp xếp các đỉnh thành các thành phần được kết nối mạnh: điều này sửa chữa một phép liệt kê các đỉnh sao cho Laplacian được hoán vị theo thứ tự này là hình tam giác trên với các mục . $G = (V,E)$ $A(G)$ $\{0,1\}$ $G$ $v_1,.., v_n$ $0/1$

Nhưng những gì được biết nếu là cực cuối khác - tức là là một đồ thị được kết nối mạnh mẽ trên đỉnh - có nghĩa là có một đường dẫn giữa bất kỳ cặp đỉnh nào. $G$ $G$ $n$

Thông thường, người ta sẽ cần tính đa thức đặc trưng của và tính toán gốc của nó. Mặc dù là ma trận điều này có vẻ như là một nhiệm vụ khó khăn. Đặc biệt, gốc của đa thức này là trong các số phức nói chung. $A(G)$ $A(G)$ $\{0,1\}$

Định lý Perron-Frobenius ngụ ý rằng ít nhất giá trị riêng trên cùng là có thật và đơn giản, nhưng không tiết lộ thông tin về phần còn lại của giá trị riêng.

Tuy nhiên, điều gì sẽ xảy ra nếu chúng ta chỉ quan tâm đến các giới hạn rất yếu của hình thức sau:

$\textbf{Conjecture: Dichotomy of eigenvalues}$ : Gọi là đồ thị có hướng trên đỉnh. Sau đó, tất cả các giá trị riêng của là có thật hoặc tồn tại ít nhất một giá trị riêng sao cho . $G$ $n$ $A_G$ $\lambda$ $im(\lambda)\geq 1/poly(n)$

Các giới hạn như vậy có theo tầm thường từ các định lý đã biết? Ngoài ra, một đồ thị có hướng có một giá trị riêng với thành phần tưởng tượng nhỏ theo cấp số nhân không?

— Lior Eldar
nguồn

Một đồ thị về cơ bản là không có hướng, tức là mỗi cạnh xuất hiện theo cả hai hướng, sẽ có Laplacian đối xứng và tất cả các giá trị riêng sẽ là số thực. Tại sao đó không phải là một ví dụ cho phỏng đoán của bạn? Ngoài ra, những gì bạn gọi là "mạnh mẽ thường xuyên" với tôi trông giống như "kết nối mạnh mẽ". Có sự khác biệt?

— Sasho Nikolov

Xin lỗi - đã sửa lỗi chính tả trong phỏng đoán. Biểu đồ thông thường mạnh mẽ không bị ảnh hưởng - có một PATH được định hướng giữa mỗi hai đỉnh, không phải là EDGE được định hướng.

— Lior Eldar

Tôi không nhận được lời giải thích của bạn. Không phải là một cạnh của một chiều dài 1? Tại sao không phải là một biểu đồ chứa mọi cạnh theo cả hai hướng đều đặn? Bạn có yêu cầu đồ thị không có chu kỳ dài 2 không?

— Sasho Nikolov

À - tôi hiểu rồi - tôi đã sửa lại phỏng đoán để phản ánh ví dụ của bạn. Tôi muốn xem xét chỉ các đồ thị có hướng được kết nối mạnh mà về cơ bản không phải là "không có hướng". Cảm ơn.

— Lior Eldar

Một đồ thị có hướng có thể có một giá trị riêng với một thành phần tưởng tượng nhỏ theo cấp số nhân? Tôi khá chắc chắn rằng nó có thể. Tuy nhiên, điều này không loại trừ sự tồn tại của một giá trị riêng khác với thành phần tưởng tượng nhỏ đa thức, vì vậy tôi không thấy nó liên quan đến phỏng đoán như thế nào. Bạn có chắc chắn rằng bạn đã không trộn lẫn các bộ lượng tử hiện sinh và phổ quát?

— Emil Jeřábek

Câu trả lời:

Thay vào đó, câu trả lời cho câu hỏi , một đồ thị có hướng có một giá trị riêng với thành phần tưởng tượng nhỏ theo cấp số mũ là CÓ (mặc dù tôi không hiểu thế nào là Thay thế về câu nói này, vì nó không thể bác bỏ phỏng đoán này.

$f\in\mathbb Z[x]$ $G$ $O(\deg(f)+\|f\|_1)$ $f$ như đã tìm thấy như tôi mong đợi, vì vậy tôi quyết định viết nó như một câu trả lời thích hợp cho hồ sơ.

Một số ví dụ về đa thức với sự phân tách gốc nhỏ theo cấp số nhân được liệt kê bởi Schönhage [1], đặc biệt là họ của đa thức gán cho Mignotte [ 2] (mà tôi không thể xác minh vì hiện tại tôi không có quyền truy cập vào nó). Bây giờ, các đa thức này có mỗi cặp gốc thực gần trong khoảng cách , trong khi chúng ta cần một cặp gốc phức tạp . Tuy nhiên, điều này dễ dàng được thực hiện bằng cách sửa đổi một chút đa thức: let Rõ ràng, đa thức này không có gốc thực dương (và không có gốc thực âm hoặc nếu

x^{n} - 2 (c x - 1)^{2} (n \geq 3, c \geq 2)

$x^n-2(cx-1)^2\qquad(n\ge3,c\ge2)$

1 / c

$1/c$

< 2 / c^{1 + n / 2}

$<2/c^{1+n/2}$

f (x) = x^{n} + (2 x - 1)^{2} = x^{n} + 4 x^{2} - 4 x + 1.

$f(x)=x^n\mathbin{\color{red}+}(2x-1)^2=x^n+4x^2-4x+1.$

n

$n$ là chẵn). Hơn nữa, thật dễ dàng để chỉ ra rằng nó vẫn có một cặp gốc (nhất thiết là không có thực) trong khoảng cách nhỏ theo cấp số nhân đến ; nếu tôi không làm xáo trộn tính toán, những gốc này xấp xỉ Bây giờ, có thể được viết là định thức của ví dụ: ma trận và do đó là đa thức đặc trưng của ma trận kề của đồ thị có hướng có trọng số trên đỉnh

1 / 2

$1/2$

z_{\pm} = \frac{1}{2} \pm i 2^{- 1 - \frac{n}{2}} + O (n 2^{- n}) .

$z_\pm=\frac12\pm i2^{-1-\frac n2}+O(n2^{-n}).$

f (x)

$f(x)$

n \times n

$n\times n$

(\begin{matrix} x & - 1 \\ x & - 1 \\ x & - 1 \\ ⋱ \\ x & - 1 \\ 1 & - 4 & 4 & x \end{matrix})

$\begin{pmatrix} x&-1\\ &x&-1\\ &&x&-1\\ &&&\ddots\\ &&&&x&-1\\ 1&-4&4&&&x \end{pmatrix}$

G_{0}

$G_0$

n

$n$

{0, \dots, n - 1}

$\{0,\dots,n-1\}$

i \to i + 1

$i\to i+1$

1

$1$

i = 0, \dots, n - 2

$i=0,\dots,n-2$ ; trọng lượng ; của trọng lượng ; và có trọng lượng . Do đó, giá trị riêng của chính xác là gốc của , bao gồm .

n - 1 \to 0

$n-1\to0$

- 1

$-1$

n - 1 \to 1

$n-1\to1$

4

$4$

n - 1 \to 2

$n-1\to2$

- 4

$-4$

G_{0}

$G_0$

f

$f$

z_{\pm}

$z_\pm$

Cuối cùng, các giá trị riêng của được bao gồm trong các giá trị riêng của đồ thị có hướng không có trọng số trên đỉnh với các cạnh và cho ; và với ; , ; và , , , cho $G_0$ $G_1$ $2n+6$

0_{+}, 0_{-}, \dots, (n - 2)_{+}, (n - 2)_{-}, (n - 1)_{+}^{0}, \dots, (n - 1)_{+}^{3}, (n - 1)_{-}^{0}, \dots, (n - 1)_{-}^{3}

$0_+,0_-,\dots,(n-2)_+,(n-2)_-,(n-1)_+^0,\dots,(n-1)_+^3,(n-1)_-^0,\dots,(n-1)_-^3$

i_{+} \to (i + 1)_{+}

$i_+\to(i+1)_+$

i_{-} \to (i + 1)_{-}

$i_-\to(i+1)_-$

i = 0, \dots, n - 3

$i=0,\dots,n-3$

(n - 2)_{+} \to (n - 1)_{+}^{j}

$(n-2)_+\to(n-1)_+^j$

(n - 2)_{-} \to (n - 1)_{-}^{j}

$(n-2)_-\to(n-1)_-^j$

j = 0, \dots, 3

$j=0,\dots,3$

(n - 1)_{+}^{0} \to 0_{-}

$(n-1)_+^0\to0_-$

(n - 1)_{-}^{0} \to 0_{+}

$(n-1)_-^0\to0_+$

(n - 1)_{+}^{j} \to 1_{+}

$(n-1)_+^j\to1_+$

(n - 1)_{+}^{j} \to 2_{-}

$(n-1)_+^j\to2_-$

(n - 1)_{-}^{j} \to 1_{-}

$(n-1)_-^j\to1_-$

(n - 1)_{-}^{j} \to 2_{+}

$(n-1)_-^j\to2_+$

j = 0, \dots, 3

$j=0,\dots,3$ .

Người giới thiệu:

[1] A. Schönhage, ví dụ tách gốc đa thức , Tạp chí tính toán tượng trưng 41 (2006), số 10, tr 1080 10801090, doi: 10.1016 / j.jsc.2006.06.003 .

[2] M. Mignotte, Một số giới hạn hữu ích , trong: Buchberger, Collins, Loos (eds.), Máy tính Đại số: tượng trưng và đại số tính toán, 2nd ed, Springer-Verlag, 1983, pp 259-263,.. Doi: 10,1007 / 980-3-7091-7551-4_16 .

— Emil Jeřábek
nguồn

Ngoài ra, được kết nối mạnh mẽ nếu có vấn đề.

G_{1}

$G_1$

— Emil Jeřábek

Cảm ơn bạn. Điều này rất nhiều thông tin. Mặc dù đây không hoàn toàn là một biểu đồ có hướng mà là một biểu đồ có trọng số với trọng số tùy ý. Vì vậy, nó trả lời một khái quát của ở trên, đúng không ?? Chắc chắn có thể dễ dàng tạo ra các biểu đồ với các giá trị riêng nhỏ tùy ý nếu bạn cho phép các trọng số tùy ý (giả sử, một đỉnh có một vòng tự trọng 2 ^ {- n}), nhưng phỏng đoán cố gắng nắm bắt xem bạn có thể nhận được các giá trị riêng nhỏ theo cấp số nhân hay không với {0,1} phần tử. Tuy nhiên, tôi nghĩ rằng việc hiển thị điều này với trọng số O (1) đủ điều kiện là tiến bộ.

— Lior Eldar

Bạn đã bỏ lỡ điểm. là không một đồ thị có trọng số. Nó là một đồ thị hoàn toàn bình thường theo định hướng.

G_{1}

$G_1$

— Emil Jeřábek

Cách dễ nhất để đảm bảo rằng phổ của được chứa trong gì?

G_{1}

$G_1$

G_{0}

$G_0$

— Lior Eldar

Tôi không nghĩ rằng đó là hợp lý có thể. Đa thức đặc trưng luôn có gốc với bội số, vì vậy trong các trường hợp thông thường, việc mở rộng biểu đồ sẽ tạo ra các giá trị riêng mới. Tôi không thể tưởng tượng được một phép biến đổi bảo toàn eigenvalue của đồ thị có trọng số thành các đồ thị không có trọng số sẽ làm cho số lượng đỉnh giống nhau hoặc làm cho char poly của đồ thị mới trở thành sức mạnh của char poly gốc.

n

$n$

— Emil Jeřábek

Tôi cảm thấy như giới hạn sẽ phụ thuộc rất nhiều vào cấu trúc kết nối cụ thể của biểu đồ.

Một ví dụ sẽ là một chu kỳ một chiều có độ dài . Với thứ tự đúng, không khó để thấy rằng , vì vậy các giá trị riêng là tất cả các gốc của sự thống nhất, tức là với đi từ đến . $N$ $A(G)^N - I = 0$ $N$ $e^{2\pi i n/N}$ $n$ $0$ $N-1$

Đối với ngay cả , bạn được đảm bảo một số giá trị riêng hoàn toàn tưởng tượng và . $N$ $i$ $-i$

Mặt khác, tôi đã đến Wolframalpha và cắm vào biểu đồ hoàn chỉnh có kích thước 4, sau đó loại bỏ một cạnh duy nhất. Biểu đồ kết quả có các giá trị riêng hoàn toàn thực (mặc dù không có ma trận kề đối xứng; có, điều đó có thể xảy ra). Điều này cho tôi biết rằng không có tuyên bố chung.

— Lagerbaer
nguồn

Cảm ơn bạn. Đây là một ví dụ quan trọng. Trên thực tế, có vẻ như ngay cả một đồ thị không đối xứng thưa thớt hơn trên 4 đỉnh có phổ thực sự: hãy xem xét các đỉnh v1, v2, v3, v4: có các cạnh hai hướng giữa vi và v_ {i + 1} cho và một cạnh được định hướng duy nhất từ đến . Có lẽ đó là trường hợp nếu bạn có một đồ thị con mà đồ thị có hướng được tạo ra về cơ bản là không bị ảnh hưởng, thì trong bối cảnh của giá trị bản địa, bạn có thể "hợp đồng" đồ thị đó. Dù sao, tôi đã sửa đổi phỏng đoán để chứa ví dụ này.

i \in {1, 2, 3}

$i\in \{1,2,3\}$

v_{4}

$v_4$

v_{1}

$v_1$

— Lior Eldar