Một vấn đề đa cắt

12

Tôi đang tìm kiếm một tên hoặc bất kỳ tài liệu tham khảo cho vấn đề này.

Cho một đồ thị có trọng số tìm một phân vùng của các đỉnh thành tối đa bộ để tối đa hóa giá trị của các cạnh cắt: $G = (V, E, w)$ $n = |V|$ $S_1,\ldots,S_n$ Lưu ý rằng một số bộcó thể để trống. Vì vậy, vấn đề về cơ bản là tối đa k-cut, ngoại trừkhông phải là một phần của đầu vào: thuật toán có thể chọn bất kỳnàonó thích để tối đa hóa giá trị của các cạnh bị cắt. Rõ ràng, vấn đề là không đáng kể nếu trọng số cạnh không âm: chỉ cần đặt mỗi đỉnh một mình trong tập riêng của nó và bạn cắt tất cả các cạnh. Nhưng, để làm cho mọi thứ thú vị, cạnh trọng lượng tiêu cực được cho phép.

c (S_{1}, Giáo dục, S_{n}) = = \underset{Tôi \neq j}{Σ} (\underset{(bạn, v) \in E : bạn \in S_{Tôi}, v \in S_{j}}{Σ} w (bạn, v))

$c(S_1,\ldots,S_n) = \sum_{i \ne j}\left(\sum_{(u,v)\in E : u \in S_i, v \in S_j}w(u,v)\right)$

S_{i}

$S_i$

k

$k$

k

$k$

Đây có phải là một vấn đề nghiên cứu? Tài liệu tham khảo về kết quả thuật toán hoặc độ cứng sẽ được đánh giá cao!

— Aaron
nguồn

2

+ 1

$+1$

- 1

$-1$

G

$G$

\pm 1

$\pm 1$

11

Vấn đề là một biến thể của Bansal Clustering (CC) Bansal, N., Blum, A. và Chawla, S. (2004). "Phân cụm tương quan". Tạp chí học máy (Vấn đề đặc biệt về những tiến bộ lý thuyết trong phân cụm dữ liệu, trang 86 .113113, doi: 10.1023 / B: Mach.0000033116.57574.95.

$G$ $(v,w)$ $a(v,w)$ $b(v,w)$ $P$ $c_P(v,w)$ $a(v,w)$ $v$ $w$ $P$ $b(v,w)$ $P$ $V$ $\sum_{v,w} c(v,w)$

$a(v,w)=0$ $b(v,w)$ $O(\log n)$

Các PTAS được mô tả dựa trên kỹ thuật lập trình đa thức trơn tru: trong trường hợp chung nhất tôi không nghĩ vấn đề của bạn sẽ thỏa mãn yêu cầu của kỹ thuật.

— Gianluca Della Vedova
nguồn

18

Tôi không biết bất kỳ tài liệu tham khảo nào, nhưng tôi có thể chỉ ra rằng đó là NP-Complete, thông qua việc giảm màu từ đồ thị.

Cho đồ thị G và một số k màu để tô màu G, tạo một đồ thị G 'mới bao gồm G cùng với k đỉnh mới, sao cho mỗi đỉnh mới được kết nối với mọi đỉnh trong G. Gán trọng lượng + kn cho mỗi cạnh của G, weight + kn với mỗi cạnh nối hai trong số k đỉnh mới và trọng số -1 với mỗi cạnh nối k đỉnh mới với G.

Sau đó, nếu G có thể được tô màu k, màu (cùng với một phân vùng gán cho mỗi đỉnh mới cho một trong các lớp màu) đạt được tổng trọng lượng kn (m + k (k-1) / 2) - (k -1) n.

Theo hướng khác, nếu bạn có một phân vùng đạt được tổng trọng lượng này, thì nó phải cắt tất cả các cạnh của G và tất cả các cạnh giữa các cặp đỉnh mới. Cắt tất cả các cạnh của G xác định màu của G và cắt cạnh giữa các cặp đỉnh mới ngụ ý rằng mỗi đỉnh của G có thể liền kề với tối đa một trong các đỉnh k mới. Do đó, để có được số hạng tối ưu - (k-1) n trong trọng số, mỗi đỉnh của G phải liền kề với chính xác một trong các đỉnh mới và do đó chỉ có thể có các lớp màu k trong màu được xác định bởi vách ngăn.

Nghĩa là, các phân vùng có trọng số cho trước bị ràng buộc tương ứng 1-1 với màu k của G, do đó, điều này xác định việc giảm màu từ vấn đề phân vùng của bạn.

— David Eppstein
nguồn

11

Hãy để tôi bổ sung bằng chứng hoàn thiện NP tốt đẹp của David bằng cách thêm một tham chiếu đến trường hợp đặc biệt được hỏi bởi Jukka trong một bình luận về câu hỏi. Nếu đồ thị là đồ thị hoàn chỉnh và các trọng số cạnh bị giới hạn ở mức 1, thì vấn đề này tương đương với vấn đề hoàn thành NP được gọi là Chỉnh sửa cụm.

Chỉnh sửa cụm là vấn đề sau đây được giới thiệu bởi Shamir, Sharan và Tsur [SST04]. Ở đây, một biểu đồ cụm là một biểu đồ là sự kết hợp của các cụm phân biệt đỉnh và một chỉnh sửa là bổ sung hoặc loại bỏ một cạnh.

Trường hợp chỉnh sửa cụm : Một đồ thị G = ( V , E ) và một số nguyên k .
Câu hỏi : Có thể biến G thành biểu đồ cụm bằng cách tối đa k chỉnh sửa không?

Chỉnh sửa cụm là NP-hoàn thành [SST04].

Để xem Chỉnh sửa cụm tương đương với trường hợp đặc biệt đã nói ở trên của vấn đề hiện tại, hãy đặt G = ( V , E ) là một biểu đồ. Đặt n = | V | và coi G là một sơ đồ con của đồ thị hoàn chỉnh K _n . Trong K _n , cung cấp cho các cân -1 đến các cạnh trong G và trọng lượng 1 để các cạnh không ở G . Sau đó, G có thể được biến thành một biểu đồ cụm bằng cách tối đa k chỉnh sửa khi và chỉ khi tồn tại một phân vùng ( S ₁ , Vượt, S _n ) sao cho c ( S ₁ , Rạn, $\binom{n}{2}$

[SST04] Ron Shamir, Roded Sharan và Dekel Tsur. Vấn đề sửa đổi đồ thị cụm. Toán học ứng dụng rời rạc , 144 (1 Điện2): 173 Từ 182, tháng 11 năm 2004. http://dx.doi.org/10.1016/j.dam.2004.01.007

— Tsuyoshi Ito
nguồn