Tính nhất quán tương đối của PA và một số loại lý thuyết

Đối với một lý thuyết loại, theo tính nhất quán, tôi có nghĩa là nó có một loại không có người ở. Từ sự chuẩn hóa mạnh mẽ của khối lambda, theo hệ thống và hệ thống là nhất quán. MLTT + loại quy nạp cũng có bằng chứng chuẩn hóa. Tuy nhiên, tất cả chúng phải đủ mạnh để xây dựng mô hình PA, điều này chứng tỏ rằng PA phù hợp với các lý thuyết này. Hệ thống là khá mạnh mẽ , vì vậy tôi hy vọng nó có thể chứng minh sự phù hợp của PA bằng cách xây dựng một mô hình sử dụng chữ số Giáo Hội. MLTT + IT có loại quy nạp số tự nhiên và cũng cần chứng minh tính nhất quán. $F$ $F_\omega$ $F$

Tất cả điều này ngụ ý rằng các bằng chứng chuẩn hóa cho các lý thuyết này không thể được nội hóa trong PA. Vì thế:

Hệ thống , hệ thống và MLTT + IT có thể thực sự chứng minh tính nhất quán của PA không? $F$ $F_\omega$
Nếu họ có thể, thì điều gì là cần thiết để chứng minh sự bình thường hóa cho hệ thống , và MLTT + IT? $F$ $F_\omega$
Có một tài liệu tham khảo tốt cho lý thuyết bằng chứng về lý thuyết loại nói chung, hoặc cho một số trong những lý thuyết loại này nói riêng?

type-theory proof-theory

— nhịp đập
nguồn

Trong Hệ thống F, bạn sẽ không nhận được một nguyên tắc cảm ứng cho các số Giáo hội của mình để chúng không nằm ngoài các phương trình.

— gallais

Câu trả lời ngắn cho câu hỏi 1 của bạn là không , nhưng có lẽ vì những lý do tinh tế.

Trước hết, Hệ thống và không thể diễn tả lý thuyết số học bậc nhất , và thậm chí ít hơn tính nhất quán của . $F$ $F_\omega$ $\mathrm{PA}$

Thứ hai, và điều này thực sự đáng ngạc nhiên, thực sự có thể chứng minh tính nhất quán của cả hai hệ thống đó! Điều này được thực hiện bằng cách sử dụng mô hình được gọi là bằng chứng không liên quan , diễn giải các loại là bộ , trong đó là một phần tử giả đại diện cho một cư dân thuộc loại không trống . Sau đó, người ta có thể viết ra các quy tắc đơn giản cho hoạt động của và trên các loại như vậy khá dễ dàng để có được một mô hình cho hệ thống , trong đó loại được hiểu bởi . Người ta có thể làm một điều tương tự cho $\mathrm{PA}$ $\in\{\varnothing,\{\bullet\}\}$ $\bullet$ $\rightarrow$ $\forall$ $F$ $\forall X.X$ $\varnothing$ $F_\omega$ , sử dụng cẩn thận hơn một chút để diễn giải các loại cao hơn là không gian hàm hữu hạn.

Có một nghịch lý rõ ràng ở đây, trong đó có thể chứng minh tính nhất quán của các hệ thống dường như mạnh mẽ này, nhưng không (như tôi sẽ trình bày trong giây lát) bình thường hóa. $\mathrm{PA}$

Thành phần còn thiếu ở đây là khả năng thực hiện . Khả năng thực hiện là một cách để làm cho các chương trình nhất định tương ứng với các đề xuất nhất định, điển hình là số học. Tôi sẽ không đi vào chi tiết ở đây, nhưng nếu một chương trình nhận ra một mệnh đề , được viết , thì chúng ta có một bằng chứng nhất định cho , đặc biệt là nếu đang bình thường hóa, thì . Chúng ta có: $p$ $\phi$ $p\Vdash \phi$ $\phi$ $p$ $p\not\Vdash\bot$

Định lý: Nếu là một định lý của số học bậc 2 , thì có một số thuật ngữ của hệ thống sao cho $\phi$ $\mathrm{PA}_2$ $t$ $F$
$t ⊩ ϕ$ $t\Vdash\phi$

Định lý này có thể được chứng minh trong , và do đó chúng ta có và áp dụng đối số của Godel (và không thể chứng minh sự chuẩn hóa của hệ thống ). Nó rất hữu ích để lưu ý rằng ý nghĩa ngược lại nắm giữ là tốt, vì vậy chúng tôi có một đặc tính chính xác của sức mạnh bằng chứng lý thuyết cần thiết để chứng minh bình thường của hệ thống . $\mathrm{PA}$

P A ⊢ F is normalizing \Rightarrow {P A}_{2} is consistent

$\mathrm{PA}\vdash F\mbox{ is normalizing}\Rightarrow\mbox{$\mathrm{PA}_2$ is consistent}$

P A

$\mathrm{PA}$

F

$F$

F

$F$

Có một câu chuyện tương tự cho hệ thống , mà theo tôi, tương ứng với số học cao hơn . $F_\omega$ $\mathrm{PA}_\omega$

Cuối cùng, chúng ta có trường hợp MLTT phức tạp với các loại quy nạp. Ở đây một lần nữa một vấn đề hơi tinh tế phát sinh. Chắc chắn ở đây chúng ta có thể biểu thị tính nhất quán của , vì vậy đó không phải là vấn đề và không có mô hình chứng minh không liên quan, vì chúng ta có thể chứng minh rằng loại có ít nhất 2 yếu tố (một số lượng vô hạn của các yếu tố riêng biệt, trong thực tế). $\mathrm{PA}$ $\mathrm{Nat}$

Tuy nhiên, chúng tôi gặp phải một thực tế đáng ngạc nhiên về các lý thuyết trực giác bậc cao: , phiên bản cao hơn của Heyting Arithatures là bảo thủ so với ! Cụ thể, chúng tôi không thể chứng minh tính nhất quán của , (tương đương với ). Một lý do trực quan cho điều này là các không gian hàm trực giác không cho phép bạn định lượng trên tập con tùy ý của , vì tất cả các hàm có thể xác định phải được tính toán. $\mathrm{HA}_\omega$ $\mathrm{HA}$ $\mathrm{PA}$ $\mathrm{HA}$ $\mathbb{N}$ $\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$

Cụ thể, tôi không nghĩ bạn có thể chứng minh tính nhất quán của nếu bạn chỉ thêm số tự nhiên vào MLTT mà không có vũ trụ. Tôi tin rằng việc thêm các vũ trụ hoặc các loại quy nạp "mạnh hơn" (như các loại thứ tự) sẽ cung cấp cho bạn đủ sức mạnh, nhưng tôi sợ rằng tôi không có tài liệu tham khảo nào cho việc này. Với vũ trụ, đối số có vẻ khá đơn giản, vì bạn có đủ lý thuyết tập hợp để xây dựng mô hình . $\mathrm{PA}$ $\mathrm{HA}$

Cuối cùng, các tài liệu tham khảo cho lý thuyết bằng chứng về các hệ thống loại: tôi thực sự có một lỗ hổng trong tài liệu ở đây, và tôi sẽ thưởng thức một cách đối xử sạch sẽ với tất cả các chủ đề này (thực tế, tôi mơ ước được tự mình viết nó vào một ngày nào đó!). Trong luc đo:

Mô hình bằng chứng không liên quan được giải thích ở đây bởi Miquel và Werner, mặc dù họ làm điều đó cho Giải tích công trình, điều này làm phức tạp vấn đề phần nào.
Đối số khả năng thực hiện được phác họa trong Bằng chứng và Loại cổ điển của Girard, Taylor và Lafont. Tôi nghĩ rằng họ cũng phác thảo mô hình bằng chứng không liên quan, và rất nhiều điều hữu ích bên cạnh đó. Đây có lẽ là tài liệu tham khảo đầu tiên để đọc.
Đối số bảo thủ của số học Heyting bậc cao có thể được tìm thấy trong tập thứ hai khó nắm bắt của Thuyết cấu trúc trong Toán học của Troelstra & van Dalen (xem tại đây ). Cả hai tập đều cực kỳ nhiều thông tin, nhưng khá khó đọc cho người mới, IMHO. Nó cũng phần nào tránh được các môn lý thuyết loại "hiện đại", điều này không gây ngạc nhiên cho tuổi của sách.

Một câu hỏi khác trong các ý kiến là về cường độ chính xác / cường độ chuẩn hóa chính xác của MLTT + Cảm ứng. Tôi không có câu trả lời chính xác ở đây, nhưng chắc chắn câu trả lời phụ thuộc vào số lượng vũ trụ và bản chất của các gia đình quy nạp được phép. Rathjen khám phá câu hỏi này trong bài báo xuất sắc Sức mạnh của một số lý thuyết Loại Martin-Lof .

Chuẩn hóa Wrt, ý tưởng cơ bản là nếu, trong 2 lý thuyết và , chúng ta có $\cal{T}$ $\cal{U}$

P A ⊢ C o n (T) \Rightarrow C o n (U)

$\mathrm{PA}\vdash\mathrm{Con}(\cal{T})\Rightarrow\mathrm{Con}(\cal{U})$

sau đó, nói chung

P A ⊢ 1- C o n (T) \Rightarrow N o r m (U)

$\mathrm{PA}\vdash \mbox{1-$\mathrm{Con}$}(\cal{T})\Rightarrow\mathrm{Norm}(\cal{U})$

trong đó 1- là 1 tính nhất quán và là chuẩn hóa (yếu). $\mathrm{Con}$ $\mathrm{Norm}$

MLTT + loại số tự nhiên (và đệ quy) là phần mở rộng bảo thủ của , được chứng minh trong các mô hình đệ quy Besson cho các lý thuyết tập hợp xây dựng . $\mathrm{HA}_\omega$

Theo như MLTT với đệ quy cảm ứng hoặc cảm ứng cảm ứng, tôi không biết tình huống này là gì và AFAIK, vấn đề về cường độ nhất quán chính xác vẫn còn mở.

— cody
nguồn

Vì vậy, theo một nghĩa nào đó, hệ thống F là một lý thuyết rất yếu, nhưng nó có vấn đề kết hợp này đòi hỏi một lý thuyết rất mạnh để chứng minh? Nếu đó là trường hợp, thì không nên biết thứ tự lý thuyết bằng chứng của nó, và ít hơn , có mâu thuẫn với câu hỏi mà tôi liên kết không?

ϵ_{0}

$\epsilon_0$

— fhyve

Và nó có nên đọc "nếu đang bình thường hóa, thì ?

p

$p$

p ⊮ \emptyset

$p\not\Vdash\emptyset$

— fhyve

Tại sao bạn có nghĩa là "trong tất cả các chức năng phải được tính toán"? Chắc chắn là không, hãy xem xét mô hình lý thuyết tập hợp.

{H A}_{ω}

$\mathrm{HA}_\omega$

— Andrej Bauer

@AndrejBauer chắc chắn, tất cả các hàm có thể được chứng minh là tồn tại trong có thể tính toán được (từ "bên ngoài"). Tất nhiên, từ "bên trong", nhất quán khi cho rằng có các hàm không tính toán được, trừ khi các tiên đề thú vị khác được thêm vào.

N \to N

$\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$

{H A}_{ω}

$\mathrm{HA}_\omega$

— cody

Sau đó, bạn nên nói điều gì đó như "các hàm có thể xác định trong là có thể tính toán được". Nói "phải tính toán" ít nhất là sai lệch.

{H A}_{ω}

$\mathrm{HA}_\omega$

— Andrej Bauer