Tổng quát hóa định lý của Dilworth cho các DAG được dán nhãn

Một antichain trong DAG $(V, E)$ là một tập hợp con $A \subseteq V$ đỉnh mà cặp unreachable, cụ thể là, không có $v \neq v' \in A$ sao cho $v$ có thể truy cập từ $v'$ ở $E$ . Từ định lý của Dilworth trong lý thuyết thứ tự từng phần, người ta biết rằng nếu DAG không có antichain có kích thước $k \in \mathbb{N}$ , thì nó có thể bị phân hủy trong một liên kết của hầu hết các chuỗi phân tách $k-1$ , tức là các đường dẫn hướng.

$v$ $\lambda(v)$ $\Sigma$ $A \subseteq V$ $\Sigma$ $A$ $\min_{a \in \Sigma} |\{v \in A \mid \lambda(v) = a\}|$ $k \in \mathbb{N}$ , tôi có thể giả định gì về cấu trúc của nó? Tôi có thể phân hủy nó theo một cách đặc biệt nào đó không? Tôi đã bối rối với trường hợp $\Sigma = \{a, b\}$ , nhưng cũng quan tâm đến trường hợp của một bộ nhãn hữu hạn chung.

Để hình dung điều này cho , nói rằng không có antichain có kích thước được dán nhãn có nghĩa là không có antichain chứa ít nhất đỉnh có nhãn và đỉnh có nhãn ; có thể có các antichains lớn tùy ý nhưng chúng chỉ phải chứa phần tử hoặc chỉ các phần tử , tối đa ngoại lệ . Dường như không cho phép antichains lớn nên thực thi mà DAG chính là "khuyết" giữa các phần của chiều rộng lớn cho đỉnh -labeled, và chiều rộng lớn cho $\Sigma = \{a, b\}$ $G$ $k$ $k$ $a$ $k$ $b$ $a$ $b$ $k-1$ $a$ $b$ đỉnh được gắn nhãn, nhưng tôi đã không thể chính thức hóa trực giác này. (Tất nhiên, một đặc tính cấu trúc phù hợp phải nói về nhãn của các đỉnh ngoài hình dạng của DAG, vì đã có và trên điều kiện được thỏa mãn bởi các DAG hoàn toàn tùy ý bất cứ khi nào các đỉnh mang cùng nhãn.) $k \geq 1$ $\{a, b\}$

— a3nm
nguồn

@Saeed, Không có cái này không hoạt động. Sự nhầm lẫn của bạn xuất phát từ thực tế là nếu một chữ cái không xuất hiện trong antichain, thì kích thước được dán nhãn của nó là . Lấy ví dụ một đồ thị lưỡng cực hoàn chỉnh G = (A, B, E), mọi cạnh được định hướng từ A đến B. Dán nhãn mọi đỉnh của A với và mọi đỉnh của B với . Sau đó, mỗi antichain có nhiều nhất một màu trong đó và do đó có kích thước , nhưng bạn không thể che nó bằng các chuỗi phân tách . Cùng với một DAG mà bạn dán nhãn với chỉ.

0

$0$

a

$a$

b

$b$

0

$0$

m (k - 1)

$m(k-1)$

a

$a$

— holf

@holf, phải, tôi nghĩ rằng chúng tôi đếm các nhãn nơi chúng xuất hiện trong antichain, tôi đã không nhận thấy min đi qua tất cả các yếu tố của sigma. Tôi nghĩ đó là một định nghĩa hơi lạ.

— Saeed

@Saeed: Vấn đề là không cho phép antichains với một loạt các biểu tượng lớn. Trực giác cho điều này là chúng tôi đang nghiên cứu sự phức tạp của một vấn đề trên DAG, trở nên tầm thường khi bạn có lượng antichain lớn như vậy (đủ nhiều lần xuất hiện các biểu tượng không thể so sánh được). Để hiển thị khả năng lưu chuyển tổng thể, chúng ta chỉ cần xử lý trường hợp DAG trong đó mẫu này không xảy ra, vì vậy chúng tôi muốn tìm hiểu làm thế nào các DAG đó có thể được phân tách để thiết kế một thuật toán có thể điều khiển được cho chúng. (Ví dụ, trong trường hợp không được gắn nhãn, phân tách chuỗi dẫn đến thuật toán động.)

— a3nm

Với Charles Paperman, chúng tôi đã có thể thu được kết quả như vậy đối với các DAG được gắn nhãn với bảng chữ cái . Về cơ bản, chúng ta có thể thấy được một DAG có antichains lớn của yếu tố -labeled, antichains lớn -labeled yếu tố, nhưng không có antichains lớn chứa cả nhiều -labeled và nguyên tố -labeled, sau đó có một phân hủy của là phân vùng , trong đó: $\{a, b\}$ $G$ $a$ $b$ $a$ $b$ $G$ $L_1, \ldots, L_n$

phân vùng là cái mà chúng ta gọi là "phân lớp", tức là:
- mỗi là một tập lồi, tức là, nếu và thì $L_i$ $x, y \in L_i$ $x \leq z \leq y$ $z \in L_i$
- với tất cả , không có và sao cho $i < j$ $x \in L_i$ $y \in L_j$ $y \leq x$
đối với bất kỳ antichain của , có một số sao cho "gần như chứa" trong , tức lànhỏ hơn hằng số $A$ $G$ $i$ $A$ $L_i$ $|A \setminus L_i|$
đối với mỗi , một trong những điều sau là đúng:
- $L_i$ chứa một antichain lớn của yếu tố -labeled và không chứa antichain lớn -labeled yếu tố $a$ $b$
- $L_i$ chứa một antichain lớn -labeled yếu tố nhưng không chứa antichain lớn của yếu tố -labeled $b$ $a$

Hơn nữa, một phân vùng như vậy có thể được tính toán trong PTIME.

Tôi đã đăng bằng chứng hiện tại của chúng tôi trực tuyến . Điều này rất thô sơ và về cơ bản không phải là bằng chứng vì hiện tại chúng tôi chưa sử dụng kết quả này, nhưng tôi vẫn nghĩ rằng sẽ gọn gàng hơn khi thêm câu trả lời cho câu hỏi CStheory này với tiến trình hiện tại của chúng tôi. Đừng ngần ngại liên lạc với tôi nếu bạn quan tâm đến kết quả nhưng không thể hiểu được bằng chứng.

— a3nm
nguồn