Các đồ thị bên ngoài giới hạn có phải là treewidth không?

Đặt và biểu thị bằng tập hợp tất cả các biểu đồ có thể được nhúng trên một bề mặt của chi sao cho tất cả các đỉnh nằm ở mặt ngoài . Chẳng hạn, là tập hợp các biểu đồ ngoài cùng. của đồ thị trong có thể được giới hạn trên bởi một số chức năng của không? $k\in\mathbb{N}$ $G_k$ $k$ $G_0$ $G_k$ $k$

Các hướng khác rõ ràng là không giữ được, vì treewidth không đổi thậm chí không bao hàm chi không đổi: Gọi là sự kết hợp của bản sao khác nhau của . của là hằng số, tuy nhiên chi của nó là . $H_n$ $n$ $K_{3,3}$ $H_n$ $n$

— Radu Curticapean
nguồn

Lưới vuông có nút có chiều rộng cây là . Có nhiều vấn đề NP-hard trên đồ thị phẳng nhưng trong P đối với đồ thị chiều rộng cây bị chặn, chẳng hạn như tập độc lập tối đa. Tôi đã không nhìn thấy bất kỳ ví dụ nào theo cách khác

n

$n$

O (\sqrt{n})

$O(\sqrt{n})$

— Yaroslav Bulatov

Tôi xin lỗi ... tôi thực sự đã đặt ra câu hỏi sai, buộc tôi phải chỉnh sửa câu hỏi trên.

— Radu Curticapean

Đúng.

Thêm một đỉnh ở giữa mặt ngoài, kết nối với tất cả các đỉnh ở mặt ngoài; điều này không làm thay đổi chi và không làm giảm treewidth. Bây giờ biểu đồ có một cây tìm kiếm đầu tiên rất nông, bắt nguồn từ đỉnh mới (mọi thứ đều liền kề với nó).

Tạo thành một cây bao trùm của đồ thị kép có các cạnh kép tách rời khỏi các cạnh của cây tìm kiếm đầu tiên. Sau đó, có một tập hợp các cạnh O (chi) không thuộc về một trong hai cây. Mỗi cạnh này tạo ra một chu kỳ ngắn (một hình tam giác) cùng với một đường dẫn trong cây tìm kiếm đầu tiên theo chiều rộng và cắt bề mặt dọc theo các chu kỳ này tạo ra một mặt phẳng (xem bài viết của tôi "Máy phát động của đồ thị nhúng địa hình"). Nghĩa là, nếu G 'là sơ đồ con của đồ thị đầu vào được tạo bởi các đỉnh không phải là điểm cuối của các cạnh cắt O (chi), thì G' là mặt phẳng và các đỉnh của nó có thể được bao phủ bởi các mặt O (chi) của nó mặt phẳng nhúng (các mặt mà chu kỳ cắt cắt mặt ngoài ban đầu vào).

Nhưng trong một đồ thị phẳng trong đó tất cả các đỉnh thuộc về các mặt k, người ta có thể loại bỏ các cạnh O (k) khác (một cây bao quanh các mặt) để có được một đồ thị ngoài cùng. Vậy treewidth của G 'là O (chi). Nếu một hình thành phân rã cây G 'với chiều rộng này, sau đó thêm vào mỗi túi các đỉnh là điểm cuối của các cạnh chu kỳ cắt, kết quả là phân rã cây của đồ thị đầu vào ban đầu với treewidth O (chi).

Có vẻ như điều này phải có trong tài liệu ở đâu đó, nhưng tôi không biết ở đâu và một số tìm kiếm nhanh đã không thành công trong việc tìm ra một tuyên bố rõ ràng về kết quả chính xác này. Tuy nhiên, một tuyên bố chung hơn nằm trong một bài viết khác của tôi: trong "Đường kính và treewidth trong các họ đồ thị khép kín" Tôi chứng minh trong số những điều khác mà đồ thị giới hạn có đường kính giới hạn đã giới hạn treewidth. Trong trường hợp này (bằng cách thêm đỉnh đó bên trong mặt ngoài), đường kính có thể được lấy tối đa là hai.

— David Eppstein
nguồn