Định lý Ramsey cho các bộ sưu tập

Trong khi khám phá các kỹ thuật khác nhau để chứng minh các giới hạn thấp hơn cho các thuật toán phân tán, tôi nhận thấy rằng biến thể sau đây của định lý Ramsey có thể có các ứng dụng - nếu điều đó là đúng.

Các tham số: , , được đưa ra, và sau đó được chọn là đủ lớn. Thuật ngữ: một tập hợp là tập con có kích thước .$k$$K$$n$$N$$m$$m$

• Đặt .$A = \{1,2,...,N\}$
• Hãy bao gồm tất cả -subsets của .$B$$k$$A$
• Hãy bao gồm tất cả -subsets của .$C$$K$$B$
• Gán một màu của .$f\colon C \to \{0,1\}$$C$

Bây giờ định lý của Ramsey (phiên bản siêu dữ liệu) nói rằng cho dù chúng ta chọn như thế nào , vẫn có một -subset đơn sắc của : tất cả các -subets của đều có cùng màu.$f$ $n$$B'$$B$$K$$B'$

Tôi muốn đi thêm một bước nữa và tìm một -subset đơn sắc của : nếu bao gồm tất cả các -subets của , thì tất cả các -subets của có cùng màu.$n$$A'$$A$$B' \subset B$$k$$A'$$K$$B'$

điều này đúng hay sai? Nó có tên không? Bạn có tình cờ biết bất kỳ tài liệu tham khảo?

Nếu nó sai vì một số lý do tầm thường, liệu có một biến thể yếu hơn giống với tuyên bố này?

Quan sát thấy rằng câu hỏi không tầm thường chỉ khi k, K đều lớn hơn 1; với trường hợp k = 1 hoặc K = 1, đó chỉ là định lý Ramsey bình thường, điều này đúng với mọi n. Ngoài ra, chúng ta chỉ phải giải quyết trường hợp > K, nếu không thì định lý là đúng vì có nhiều nhất một select -subset của B 'được tạo bởi một tập hợp con A' của A.${n \choose k}$${n \choose k}$

Trước tiên, chúng tôi chứng minh định lý là sai cho tất cả k> 1, K> 1 và bất kỳ n nào thỏa mãn > K> .${n \choose k}$$({n-1 \atop k})$

Để xây dựng một ví dụ mẫu, với bất kỳ N và A = [N] lớn nào, chúng ta phải xây dựng hàm tô màu f sao cho tất cả các tập con n 'A của A, nếu B' bao gồm tất cả các tập con k của A ' , một số tập con K của B 'có màu khác nhau. Ở đây chúng tôi có quan sát sau đây:

Quan sát 1. Trong các điều kiện k, K> 1 và > K> , mọi tập con K của B là tập con của tối đa một B 'được tạo bởi một tập con n 'của A.${n \choose k}$$({n-1 \atop k})$

Sự quan sát có thể dễ dàng dường như bằng cách biểu diễn dưới dạng siêu dữ liệu. Đặt A là các nút của đồ thị G, một tập con n A 'của A là tập hợp nút của một sơ đồ con n hoàn chỉnh trong G. B' là tập hợp các siêu bội k trong sơ đồ con hoàn chỉnh (một siêu liên kết 2 là một cạnh bình thường) và các tập con K của B 'là mọi kết hợp (có , trong đó | B '| = ) của K-hyperedges . Quan sát cho biết: mọi K-tuple của hyperedges trong G đều thuộc về nhiều nhất một sơ đồ con hoàn chỉnh, điều này hiển nhiên đối với > K> , vì bất kỳ hai hoàn thành nào n đồ thị con giao nhau tại hầu hết các nút n-1, với tối đa .$({|B'| \atop K})$${n \choose k}$${n \choose k}$$({n-1 \atop k})$$({n-1 \atop k})$

Sau đó, chúng ta có thể gán các màu khác nhau trong các tập con K C 'của một B' cụ thể được tạo bởi một tập hợp con A ', vì bất kỳ phần tử nào trong C' sẽ không xảy ra như một tập hợp con K khác của B '' được tạo bởi tập con n Một ''. Đối với bất kỳ tập hợp con K nào của B không được xây dựng bởi bất kỳ tập hợp con n nào của A, chúng ta gán màu ngẫu nhiên trên nó. Bây giờ chúng ta có một hàm tô màu f, với đặc tính không có B 'được tạo bởi tập con n của A là đơn sắc, nghĩa là, một số tập con K của B' có các màu khác nhau.

Tiếp theo, chúng tôi chỉ ra rằng định lý cũng sai cho tất cả k> 1, K> 1 và bất kỳ n nào thỏa mãn > K. Ở đây, sự khác biệt duy nhất là n có thể được chọn quá lớn, đó là K> không đúng. Nhưng bằng một quan sát đơn giản khác:${n \choose k}$$({n-1 \atop k})$

Quan sát 2. Nếu một số B 'được tạo bởi một tập hợp con A' của A là đơn sắc, thì mọi B '' được tạo bởi một tập hợp con A '' của A 'cho n' <n cũng là đơn sắc.

Do đó, chúng ta có thể giả sử định lý giữ n lớn hơn, áp dụng quan sát thứ hai và kết luận mâu thuẫn bằng trường hợp thứ nhất, bằng cách đặt n 'thỏa mãn > K> ; n 'phải tồn tại bởi thực tế là > K và K> , n' phải nằm giữa n và k + 1.$({n' \atop k})$$({n'-1 \atop k})$$({n \atop k})$$({k \atop k})$