Kích thước VC của đa thức trên bán kính nhiệt đới?

Như trong này câu hỏi, tôi đang quan tâm đến các vs / vấn đề cho nhiệt đới và mạch. Câu hỏi này giảm để hiển thị giới hạn trên cho kích thước đa thức của VC đối với các bán dẫn nhiệt đới (xem Định lý 2 dưới đây). $\mathbf{BPP}$ $\mathbf{P}$ $\mathrm{poly}$ $(\max,+)$ $(\min,+)$

Đặt là một nửa. Mẫu không của một chuỗi của đa thức trong là tập con tồn tại và sao cho với mọi , khi và chỉ khi . Nghĩa là, các đồ thị của chính xác các đa thức với phải đạt điểm . ("Mẫu không" vì điều kiện có thể được thay thế bằng ) Hãy để $R$ $(f_1,\ldots,f_m)$ $m$ $R[x_1,\ldots,x_n]$ $S\subseteq \{1,\ldots,m\}$ $x\in R^n$ $y\in R$ $i=1,\ldots,m$ $f_i(x)= y$ $i\in S$ $f_i$ $i\in S$ $(x,y)\in R^{n+1}$ $f_i(x)=y$ $f_i(x)-y=0$ $Z(m)$ = số mẫu không tối đa có thể có của một chuỗi các đa thức $m$ có độ lớn nhất là $d$ . Do đó, $0\leq Z(m)\leq 2^m$ . Thứ nguyên của Pinterestnik-Chervonenkis của đa thức bậc $d$ là $VC(n,d) := \max\{m\colon Z(m)=2^m\}$ .

Lưu ý: Thông thường, kích thước VC được xác định cho một họ ${\cal F}$ của các tập hợp là số lượng lớn nhất $|S|$ của một tập $S$ mà $\{F\cap S\colon F\in{\cal F}\}=2^S$ . Để phù hợp với khung này, chúng ta có thể liên kết với mọi cặp $(x,y)\in R^{n+1}$ tập hợp $F_{x,y}$ của tất cả các đa thức của $f$ độ $\leq d$ mà $f(x)=y$ giữ. Khi đó, kích thước VC của gia đình ${\cal F}$ của tất cả các bộ như vậy $F_{x,y}$ chính xác là $VC(n,d)$ .

Một giới hạn trên tầm thường trên $m=VC(n,d)$ là $m\leq n\log |R|$ (chúng ta cần ít nhất $2^m$ vectơ riêng biệt $x\in R^n$ để có tất cả $2^m$ mẫu có thể), nhưng nó vô dụng trong các bán kết vô hạn. Để có giới hạn trên tốt trên kích thước VC, chúng ta cần giới hạn trên tốt trên $Z(m)$ . Trên các lĩnh vực , giới hạn như vậy được biết đến.

Định lý 1: Trên bất kỳ trường $R$ , chúng ta có $Z(m)\leq \binom{md+n}{n}$ .

Giới hạn trên tương tự đã được chứng minh trước đó bởi Milnor , Heintz và Warren ; bằng chứng của họ sử dụng các kỹ thuật nặng từ hình học đại số thực. Ngược lại, một bằng chứng nửa trang của Định lý 1 của Ronyai, Babai và Ganapathy (mà chúng tôi đưa ra dưới đây) là một ứng dụng đơn giản của đại số tuyến tính.

Bằng cách tìm kiếm nhỏ $m$ 's đáp ứng $\binom{md+n}{n} < 2^m$ , ta được rằng $VC(n,d)=O(n\log d)$ nắm giữ trên bất kỳ lĩnh vực . Theo quan điểm của $\mathbf{BPP}$ so với $\mathbf{P}$ / $\mathrm{poly}$ , điều quan trọng ở đây là kích thước chỉ là logarit ở mức độ $d$ . Điều này rất quan trọng vì các mạch có kích thước đa thức có thể tính toán các đa thức có cấp số mũ và do kết quả của Haussler trong học tập PAC (Hệ quả 2 trên trang 114 của bài viết này ) mang lại kết quả sau (trong đó chúng tôi cho rằng các mạch xác định được phép sử dụng đa số phiếu để xuất giá trị của chúng).

Định lý 2: $\mathbf{BPP}\subseteq \mathbf{P}/\mathrm{poly}$ giữ cho các mạch trên bất kỳ nửa nào $R$ , trong đó $VC(n,d)$ chỉ là đa thức trong $n$ và $\log d$ .

Xem ở đây về cách kết quả của Haussler ngụ ý Định lý 2.

Cụ thể, theo Định lý 1, nắm giữ bất kỳ trường nào. (Thú vị là ở đây chỉ là trường hợp vô hạn các lĩnh vực: cho những người hữu hạn, lập luận đơn giản hơn nhiều việc: Chặn Chernoff sau đó thực hiện công việc.) Nhưng những gì về (vô hạn) semirings mà không lĩnh vực, hoặc thậm chí không đổ chuông? Được thúc đẩy bởi lập trình động, tôi chủ yếu quan tâm đến các semirings nhiệt đới và , nhưng các semirings "phi trường" (vô hạn) khác cũng rất thú vị. Lưu ý rằng, qua nửa , một đa thức với và $\mathbf{BPP}\subseteq \mathbf{P}/\mathrm{poly}$ $(\max,+)$ $(\min,+)$ $(\max,+)$ $f(x)=\sum_{a\in A} c_a\prod_{i=1}^n x_i^{a_i}$ $A\subseteq\mathbb{N}$ $c_a\in \mathbb{R}$ , biến thành vấn đề tối đa hóa ; mức độ là (như phong tục) tối đa là khắp . $f(x)=\max_{a\in A}\ \{c_a+a_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_nx_n\}$ $f$ $a_1+\cdots+a_n$ $a\in A$

Câu hỏi: Là kích thước VC của đa thức bậc so với đa thức bán nhiệt đới trong ? $\leq d$ $n\log d$

Tôi thừa nhận, đây có thể là một câu hỏi khá khó để mong đợi một câu trả lời nhanh: đại số nhiệt đới khá "điên rồ". Nhưng có lẽ ai đó có một số ý tưởng về lý do tại sao (nếu có) đa thức nhiệt đới có thể tạo ra nhiều mẫu không hơn so với đa thức thực? Hay tại sao họ "không nên"? Hoặc một số tài liệu tham khảo liên quan.

Hoặc, có lẽ, bằng chứng của Babai, Ronyai và Ganapathy (bên dưới) có thể bằng cách nào đó "vặn vẹo" để hoạt động trong các bán nguyệt nhiệt đới? Hoặc trên bất kỳ semirings vô hạn khác (không phải là lĩnh vực)?

Bằng chứng của Định lý 1: Giả sử rằng một chuỗi có mẫu không khác nhau và để là nhân chứng cho các mẫu không này. Đặt là một mẫu không được chứng kiến bởi vectơ thứ và xem xét các đa thức . Chúng tôi tuyên bố rằng các đa thức này là độc lập tuyến tính trên lĩnh vực của chúng tôi. Tuyên bố này đã hoàn tất các giấy tờ chứng minh của định lý vì mỗi có mức độ tối đa là , và kích thước của không gian của đa thức của mức độ tối đa là là $(f_1,\ldots,f_m)$ $p$ $v_1,\ldots,v_p\in R^n$ $S_i=\{k\colon f_k(v_i)\neq 0\}$ $i$ $v_i$ $g_i:=\prod_{k\in S_i}f_k$ $g_i$ $D:=md$ $D$ $\binom{n+D}{D}$ . Để chứng minh cho yêu cầu, cần lưu ý rằng khi và chỉ khi . Giả sử ngược lại rằng tồn tại một mối quan hệ tuyến tính không cần thiết . Đặt là một chỉ số sao cholà tối thiểu trong số với . Thay thế trong mối quan hệ. Trong khi , chúng tôi có cho tất cả , một mâu thuẫn. $g_i(v_j)\neq 0$ $S_i\subseteq S_j$ $\lambda_1 g_i(x)+\cdots+\lambda_p g_p(x)=0$ $j$ $|S_j|$ $S_i$ $\lambda_i\neq 0$ $v_j$ $\lambda_jg_j(v_j)\neq 0$ $\lambda_ig_i(v_j)=0$ $i\neq j$ $\Box$

— Stasys
nguồn

Tôi đã nhận ra rằng câu trả lời cho câu hỏi của tôi là - có: thứ nguyên VC của bậc đa thức trên biến trên bất kỳ nửa cung nhiệt đới nào nhiều nhất là . Điều này có thể được hiển thị bằng Định lý 1 ở trên. Xem ở đây để biết chi tiết. Vì vậy, BPP P / poly cũng giữ cho các mạch nhiệt đới và, do đó, cũng cho các thuật toán lập trình động "thuần túy". $\leq d$ $n$ $n^2\log(n+d)$ $\subseteq$

NB (đã thêm 25.06.2019) Trong thời gian đó, tôi đã giải quyết vấn đề hoàn toàn trong bài viết này . Nói chung, điều mà tôi chưa từng mơ lúc ban đầu. Trường hợp nhiệt đới ở đây chỉ là một trường hợp rất, rất đặc biệt. Và thậm chí tò mò hơn: chỉ bằng một sự kết hợp thích hợp của kết quả đã biết (sâu sắc trong bất kỳ khía cạnh nào) của các tác giả khác.

Những gì còn lại để làm theo hướng này (BPP so với P / poly)? Bên cạnh việc giảm kích thước của các mạch xác định kết quả (bản thân một câu hỏi thú vị).

— Stasys
nguồn