Liệu tính không tương thích của độ phức tạp Kolmogorov có tuân theo Định lý điểm cố định của Lawvere không?

Nhiều định lý và "nghịch lý" - Đường chéo của Cantor, tính không ổn định của sự hận thù, sự không ổn định của độ phức tạp Kolmogorov, Sự không hoàn hảo của Gôdel, Sự bất toàn của Chaitin, Nghịch lý của Russell, v.v. - tất cả đều có cùng một chứng minh bằng cách chéo tất cả đều được chứng minh bằng cách chéo, thay vào đó, nó cảm thấy rằng tất cả các định lý này thực sự sử dụng cùng một đường chéo, để biết thêm chi tiết, ví dụ Yanofsky , hoặc cho một tài khoản ngắn gọn hơn và ít chính thức hơn câu trả lời của tôi cho câu hỏi này ).

Trong một bình luận về câu hỏi nêu trên, Sasho Nikolov đã chỉ ra rằng hầu hết trong số đó là những trường hợp đặc biệt của Định lý điểm cố định của Lawvere . Nếu chúng đều là những trường hợp đặc biệt, thì đây sẽ là một cách tốt để nắm bắt ý tưởng trên: thực sự sẽ có một kết quả với một bằng chứng (Lawvere) mà tất cả những điều trên theo sau là những hệ quả trực tiếp.

Bây giờ, đối với sự không đầy đủ và không chắc chắn của vấn đề tạm dừng và bạn bè của họ, người ta biết rằng họ tuân theo Định lý điểm cố định của Lawvere (xem, ví dụ, ở đây , ở đây hoặc Yanofsky ). Nhưng tôi không thấy ngay cách làm điều đó vì tính không ổn định của độ phức tạp Kolmogorov, mặc dù thực tế là bằng chứng cơ bản bằng cách nào đó "giống nhau". Vì thế:

Là sự không ổn định của độ phức tạp Kolmogorov có phải là một hệ quả nhanh chóng - không yêu cầu thêm đường chéo - của Định lý điểm cố định của Lawvere?

— Joshua Grochow
nguồn

Tôi nên nói rằng tất cả những gì tôi từng biết về chủ đề này tôi đã học được từ bài đăng trên blog này của Andrej Bauer: math.andrej.com/2007/04/08/on-a-proof-of-cantors-theorem

— Sasho Nikolov

@MaxNew: Hãy là một hàm tính toán, tính toán bởi một số TM . Đặt là TM sau: trên đầu vào trống, nó bắt đầu đi qua từng chuỗi một cho đến khi tìm thấy một với và đầu ra . Lưu ý rằng đối với một số chỉ phụ thuộc vào. Sau đó với mọi sao cho(bất kỳ đủ lớn sẽ làm), hoặc không có (trong trường hợp đó ) hoặc xuất ra một số

f

$f$

M

$M$

M_{k}

$M_k$

x

$x$

f (x) \geq | x | > k

$f(x) \geq |x| > k$

x

$x$

| M_{k} | \leq \log_{2} (k) + c

$|M_k| \leq \log_2(k) + c$

c

$c$

| M |

$|M|$

k

$k$

k > | M_{k} |

$k > |M_k|$

k

$k$

x

$x$

f \neq C

$f \neq C$

M_{k}

$M_k$

x

$x$ sao cho (bằng cách xây dựng), nhưng thực tế là đầu ra ngụ ý rằng , vì vậy .

f (x) \geq | x | > k

$f(x) \geq |x| > k$

M_{k}

$M_k$

x

$x$

C (x) \leq | M_{k} | < k

$C(x) \leq |M_k| < k$

f (x) \neq C (x)

$f(x) \neq C(x)$

— Joshua Grochow

@NealYoung: Tương tự, nhưng những người đó không trả lời câu hỏi của tôi. Giảm từ vấn đề tạm dừng là lấy HALT làm "nguồn" của tính không thể tính toán và sau đó sử dụng các mức giảm. Nhưng (ví dụ) bằng chứng tôi đưa ra trong các ý kiến trên cho thấy rằng bạn cũng có thể lấy độ phức tạp K làm "nguồn không thể tính toán", nhưng bằng một bằng chứng rất giống với điều đó cho HALT. Bằng chứng tương tự đó thực sự có thể được chứng minh là giống nhau trong một số ý nghĩa kỹ thuật? (Trong trường hợp này, bằng cách chỉ ra rằng tất cả chúng đều là trường hợp của Định lý Lawvere, dường như đối với tôi mạnh hơn nhiều loại giảm.) Đó là những gì tôi thực sự theo đuổi.

— Joshua Grochow

@NealYoung: Vâng, nó khái quát định lý điểm cố định của Rogers. Nhưng nếu bạn chỉ nghĩ đó là Định lý của Rogers, bạn sẽ bị mất điểm; vấn đề là Lawvere đủ chung chung để nắm bắt chiến lược chứng minh của nhiều bằng chứng khác nhau, vượt xa điều đó trong Rogers. Bài báo Yonofsky liên quan đến trong câu hỏi được dự định là một giải trình "Không phân loại" của Định lý Lawvere, thân thiện với những người mà lý thuyết phạm trù của Lawvere có thể đáng sợ.

— Joshua Grochow

Xem thêm cstheory.stackexchange.com/a/2830

— András Salamon

EDIT: Thêm cảnh báo rằng định lý điểm cố định của Rogers có thể không phải là trường hợp đặc biệt của Lawvere.

Đây là một bằng chứng có thể "gần gũi" ... Nó sử dụng định lý điểm cố định của Rogers thay vì định lý Lawvere. (Xem phần bình luận bên dưới để thảo luận thêm.)

Đặt là độ phức tạp Kolmogorov của chuỗi . $K(x)$ $x$

bổ đề . không tính toán được . $K$

Bằng chứng .

Giả sử mâu thuẫn rằng là tính toán được. $K$
Xác định là độ dài mã hóa tối thiểu của bất kỳ Máy Turing có . $K'(x)$ $M$ $L(M) = \{x\}$
Tồn tại một hằng số sao cho cho tất cả các chuỗi . $c$ $|K(x) - K'(x)|\le c$ $x$
Xác định hàm sao cho trong đó sao cho là chuỗi tối thiểu sao cho . $f$ $f(\langle M \rangle) = \langle M' \rangle$ $L(M') = \{x\}$ $x$ $K(x) > |\langle M\rangle| + c$
Vì là tính toán, nên . $K$ $f$
Theo định lý điểm cố định của Rogers , có một điểm cố định, nghĩa là tồn tại Máy Turing sao cho trong đó . $f$ $M_0$ $L(M_0) = L(M_0')$ $\langle M_0' \rangle = f(\langle M_0\rangle)$
Theo định nghĩa của trong dòng 4, chúng ta có sao cho . $f$ $L(M_0) = \{x\}$ $K(x) > |\langle M_0\rangle| + c$
Dòng 3 và 7 ngụ ý. $K'(x) > |\langle M_0\rangle|$
Nhưng theo định nghĩa của trong dòng 2,, mâu thuẫn với dòng 8. $K'$ $K'(x) \le |\langle M_0 \rangle|$

— Neal trẻ
nguồn

Theo như tôi biết thì định lý điểm cố định của Rogers không phải là một ví dụ của định lý điểm cố định của Lawvere. Tuy nhiên, đây là một biến thể, bởi vì trong các topos hiệu quả, nó đọc như sau: if là một từ chối tương đương thì có thuộc tính điểm cố định. (Định lý của Lawvere trong các topos hiệu quả là: nếu là một từ chối thì có thuộc tính điểm cố định.)

f : N ⇉ A^{N}

$f : \mathbb{N} \rightrightarrows A^\mathbb{N}$

A

$A$

f : B \to A^{B}

$f : B \to A^B$

A

$A$

— Andrej Bauer

Trên mức lương của tôi, @AndrejBauer - Tôi không biết lý thuyết danh mục. Đã thử đọc điều này và câu trả lời của bạn ở đây . Vẫn không nhận được nó. Bạn có thể cho tôi biết, trong nhận xét của bạn ở trên, về định lý của Rogers, bạn lấy gì cho hàm (với loại ), và là gì? Hoặc có thể đề xuất một hướng dẫn thích hợp?

f

$f$

f : N \vec{\to} A^{N}

$f:\mathbb{N}\overrightarrow{\rightarrow} A^{\mathbb{N}}$

A

$A$

— Neal Young

Các slide 45 và 46 trong math.andrej.com/wp-content/uploads/2007/05/syncomp-mfps23.pdf (tin tốt là bây giờ tôi có một kế hoạch xác định và thời hạn để viết một bài báo mở rộng về khả năng tính toán tổng hợp ).

— Andrej Bauer