Ma trận cân bằng rõ ràng

Là nó có thể để xây dựng một rõ ràng $N \times N$ $0/1$ -matrix với $N^{1.5}$ người như vậy mà mỗi $N^{0.499} \times N^{0.499}$ submatrix chứa ít hơn $N^{0.501}$ người?

Hoặc có lẽ có thể xây dựng một bộ nhấn rõ ràng cho thuộc tính đó.

Dễ dàng thấy rằng ma trận ngẫu nhiên có thuộc tính này với xác suất theo cấp số nhân gần bằng $1$ . Ngoài ra, mở rộng pha trộn bổ đề là không đủ để có được tài sản này.

Tôi đoán các trình tạo giả ngẫu nhiên đánh lừa các hình chữ nhật kết hợp có thể giúp đỡ ở đây, nhưng chúng được thiết kế để phân phối đồng đều và về cơ bản tôi cần $B(N^2, N^{-0.5})$ ở đây.

Những gì bạn đang tìm kiếm là một trình trích xuất một bit cho hai nguồn độc lập: hàm , sao cho, với điều kiện X, Y là các biến ngẫu nhiên với min-entropy 0.499 * log (N), E (X, Y) gần như cân bằng.$E:[N]\times [N]\to \{0,1\}$

Đó là một vấn đề khó khăn khét tiếng. Đối với các thông số bạn muốn, tôi tin rằng nó đã được giải quyết bởi Bourgain. Xem tại đây: http://www.cs.washington.edu/homes/anuprao/pub/bourgain.pdf

Câu trả lời này dựa trên ý tưởng của Dana trong câu trả lời của cô ở trên.

Tôi nghĩ rằng bạn có thể xây dựng một ma trận như vậy bằng cách sử dụng bộ ngưng tụ tổn thất hai nguồn. Fix và nói N = 2 n . Giả sử bạn có một chức năng rõ ràng f ( x , y ) mà có bất kỳ hai nguồn độc lập ngẫu nhiên ( X , Y ) , mỗi chiều dài n và có min-entropy ít nhất k = n ( 1 / 2 - δ ) và kết quả đầu ra một chuỗi của n ' = $\delta = 0.001$$N=2^n$$f(x,y)$$(X, Y)$$n$$k = n(1/2 - \delta)$$n' = n/2$bit đó là ) . Đối số xác suất phải tương tự như những gì được sử dụng trong bài báo sau đây cho các tụ ngưng không tổn hao và các dây dẫn tổng quát hơn:$\epsilon$-close với phân phối với min-entropy ít nhất . Tôi nghĩ rằng bạn có thể sử dụng các đối số xác suất tiêu chuẩn để chỉ ra rằng một hàm ngẫu nhiên thỏa mãn các tính chất này (với xác suất áp đảo) nếu 2 k > k ′ + log ( 1 / ϵ ) + O ( $k'=n(1/2-3\delta)$$2k > k'+\log(1/\epsilon)+O(1)$

M. Capalbo, O. Reingold, S. Vadhan, A. Wigderson. Chất dẫn ngẫu nhiên và mở rộng mức độ không đổi vượt quá mức / 2 rào cản

Trong trường hợp của chúng tôi, chúng tôi đặt , vì vậy chúng tôi chắc chắn về sự tồn tại của chức năng mà chúng ta cần. Bây giờ, một đối số trung bình cho thấy có một chuỗi n ′ -bit z sao cho số lượng ( x , y ) với f ( x , y ) = z ít nhất là 2 1,5 n . Giả sử bạn biết một z như vậy và sửa nó (bạn có thể chọn bất kỳ tùy ý nếu bạn biết thêm rằng hàm của bạn ánh xạ phân phối thống nhất đầy đủ đến một phân phối đó là$\epsilon = 2^{-k'}$$n'$$z$$(x,y)$$f(x,y)=z$$2^{1.5 n}$$z$$z$ -đóng theo thống nhất). Bây giờ xác định các mục của bạn N × N ma trận bởi các khả năng của ( x , y ) và đặt một 1 tại vị trí ( x , y ) khi và chỉ khi f ( x , y ) = z . Theo lựa chọn z của chúng tôi, ma trận này có ít nhất 2 1,5 $O(2^{-n/2})$$N \times N$$(x,y)$$1$$(x,y)$$f(x,y)=z$$z$$2^{1.5n}$ những cái.

Bây giờ, lấy bất kỳ hàm con nào và đặt X , Y lần lượt là các phân phối đồng đều trên các hàng và cột được chọn. Bởi sự lựa chọn của f , chúng ta biết rằng f ( X , Y ) là ε -close để có min-entropy k ' . Do đó, nếu chúng ta chọn một mục thống nhất ngẫu nhiên của các submatrix, xác suất của việc có một 1 là tại hầu hết 2 - k ' + ε ≤ 2 - k ' + $2^k \times 2^k$$X, Y$$f$$f(X,Y)$$\epsilon$$k'$$1$$2^{-k'}+\epsilon\leq 2^{-k'+1}$. This means that you have at most $2^{2k-k'+1} = O(2^{n/2 + \delta})$ ones in the submatrix, as desired.

Of course coming up with an explicit $f$ with the desired parameters (in particular, nearly optimal output length) is a very challenging task and no such function in known so far.