MAX CUT có khả năng kháng xấp xỉ không?

Vấn đề tối ưu hóa CSP có khả năng kháng xấp xỉ nếu nó là -hard để đánh bại hệ số gần đúng của một phép gán ngẫu nhiên. Ví dụ, MAX 3-LIN là kháng xấp xỉ kể từ khi thỏa mãn một nhiệm vụ ngẫu nhiên 1 / 2 phần của phương trình tuyến tính nhưng đạt được yếu tố xấp xỉ 1 / 2 + ε là N P -Hard.$NP$$1/2$$1/2+ \epsilon$$NP$

MAX CUT là một -complete cơ bản . Nó có thể được coi là bài toán CSP khi giải phương trình tuyến tính modulo 2 ( x i + x j = 1 mod 2). Một nhiệm vụ ngẫu nhiên đạt được 1 / 2 -approximation yếu tố (trong tổng số cạnh | E | ). Haglin và Venkatesan đã chứng minh rằng việc đạt được một yếu tố xấp xỉ 1 / 2 + ε là N P -Hard (tức là tìm một cắt tốt hơn so với | E | /$NP$$x_i + x_j= 1$$1/2$$|E|$$1/2+ \epsilon$$NP$$|E|/2$). Tuy nhiên, Hastad cho thấy MAX CUT không approximable đến yếu tố trong việc cắt giảm tối ưu trừ khi P = N P . Goemans và Williamson đã đưa ra thuật toán thời gian đa thức dựa trên SDP với hệ số xấp xỉ 0,878 (trong phạm vi cắt tối ưu) là tối ưu giả định Giả thuyết trò chơi độc đáo. Đối với tôi, dường như việc biểu thị hệ số gần đúng so với tổng số ràng buộc ( | E | ) là tự nhiên và phù hợp hơn với quy ước được sử dụng cho vấn đề MAX 3-LIN.$16/17+ \epsilon$$P=NP$$|E|$

Tại sao hệ số xấp xỉ của MAX CUT được đưa ra liên quan đến kích thước cắt tối ưu thay vì số lượng ràng buộc (# của các cạnh)? Tôi có đúng không khi kết luận rằng MAX CUT có khả năng kháng gần đúng khi hệ số gần đúng có liên quan đến tổng số ràng buộc ( )?$|E|$

Nếu bạn đo xấp xỉ bằng tỷ lệ giữa số lượng ràng buộc được thỏa mãn bởi thuật toán của bạn chia cho tổng số ràng buộc, thì tất cả các vấn đề thỏa mãn ràng buộc đều có khả năng kháng xấp xỉ vô điều kiện.

$o(1)$

$o(1)$

$n$${n \choose 2} = n\cdot (n-1)/2$$n^2/4$$1/2 + O(1/n)$$n$$1/2$