Chức năng của Tardos Ví dụ về Yêu cầu

Trong chủ đề này , bằng chứng đã cố gắng của Norbet Blum bị từ chối một cách ngắn gọn bằng cách lưu ý rằng hàm Tardos là một ví dụ cho Định lý 6.$P \neq NP$

Định lý 6 : Đặt là bất kỳ hàm Boolean đơn điệu nào. Giả sử rằng có một xấp xỉ CNF-DNF A có thể được sử dụng để chứng minh giới hạn dưới cho C m ( f ) . Sau đó A cũng có thể được sử dụng để chứng minh giới hạn dưới tương tự cho C s t ( f ) .$f \in \mathcal{B}_n$$\mathcal{A}$$C_m(f)$$\mathcal{A}$$C_{st}(f)$

Đây là vấn đề của tôi: hàm Tardos không phải là hàm Boolean, vậy làm thế nào để nó thỏa mãn các giả thuyết của Định lý 6?

Trong nghiên cứu này , họ thảo luận về sự phức tạp của hàm , mà không phải là trong một giọng đều đều chung Boolean chức năng, kể từ mép tăng có thể làm cho φ ( X ) lớn hơn để làm cho φ ( X ) ≤ f ( v ) sai khi nó đúng với ít hơn 1 's trong đầu vào. Chức năng φ ( X ) ≥ f ( v ) không, nói chung, tính toán 1 trên $\varphi(X) \leq f(v)$$\varphi(X)$$\varphi(X) \leq f(v)$$1$$\varphi(X) \geq f(v)$$1$ và 0 trên T 0 .$T_1$$0$$T_0$

Trên thực tế, các bộ kiểm tra và T 0 được chọn chính xác để tính toán 1 trên T 1 và 0 trên T 0 với tính đơn điệu có nghĩa là chức năng của bạn trong việc tính toán chính xác CLIQUE (chúng xác định ranh giới của 1 và 0 trong mạng của các yếu tố đầu vào), vì vậy những nhận xét này ngụ ý rằng hàm Tardos giống như CLIQUE, điều này rõ ràng là không đúng.$T_1$$T_0$$1$$T_1$$0$$T_0$$1$$0$

Tuy nhiên, rất nhiều người - và những người có kiến ​​thức như vậy - cho rằng chức năng Tardos cung cấp một ví dụ ngay lập tức, do đó phải có một cái gì đó tôi đang thiếu. Bạn có thể vui lòng cung cấp một lời giải thích chi tiết hoặc bằng chứng cho những người trong chúng ta là những bên quan tâm nhưng không hoàn toàn ở cấp độ của bạn?

vì vậy những nhận xét này ngụ ý rằng hàm Tardos giống như CLIQUE.$f$

Câu trả lời ngắn gọn - KHÔNG.

Nó chỉ là một "clique-like" đơn điệu : chấp nhận tất cả các -cliques và từ chối tất cả các đồ thị hoàn chỉnh ( k - 1 ) . Nó có thể, tuy nhiên, chấp nhận một số đồ thị từ chối bởi phe nhóm: đồ thị G với ω ( G ) < k nhưng χ ( G ) ≥ k (cái gọi là "không hoàn hảo" đồ thị). Bài báo của Grötschel, Lovász và Schrijver ngụ ý rằng f có một mạch không đơn điệu có kích thước đa thức. Nhưng, theo Định lý 6 trong "bằng chứng" , bất kỳ$k$$(k-1)$$G$$\omega(G) < k$$\chi(G)\geq k$$f$ Hàm Boolean giống như clique đơn sắc đòi hỏi các mạch không đơn điệu có kích thước siêu đa thức. Vì vậy, một trong hai giấy tờ phải sai. Bài báo GLS-1981 đã tồn tại> 35 năm ...

$\varphi(G):=\vartheta(\overline{G})$$\vartheta$$\varphi(G)$$\omega(G)\leq \varphi(G)\leq \chi(G)$$\vartheta(G)$$\phi(G)$

1. $\phi(G)$$n$
2. $\phi$
3. $\omega(G)\leq \phi(G)\leq \chi(G)$$G$

Sau đó (như Clement C. ghi chú), cô xác định mong muốn đơn điệu Boolean chức năng như sau: f ( G ) = 1 khi và chỉ khi φ ( G ) ≥ k . Theo (1), hàm có một mạch (không đơn điệu) có kích thước đa thức. Bởi (2), f là hàm Boolean đơn điệu. Bởi (3), f chấp nhận tất cả các biểu đồ k và từ chối tất cả các đồ thị hoàn chỉnh ( k - 1 ) . $f$$f(G)=1$$\phi(G)\geq k$$f$$f$$k$$(k-1)$

Xem ở đây để biết chi tiết kỹ thuật.