Liệu lý thuyết thứ tự đầu tiên của một cấu trúc hữu hạn có thứ hạng định lượng giới hạn?

Đặt là cấu trúc hữu hạn. Liệu đầu tiên lý thuyết trật tự của nó có thứ hạng quantifier bị chặn, theo nghĩa rằng có một sao cho với mọi với có một với và ? $\mathfrak{A}$ $\mathfrak{T} := \mathfrak{TH}(\mathfrak{A})$ $q\in\mathbb{N}$ $\varphi\in\mathfrak{T}$ $qr(\varphi) > q$ $\varphi'\in\mathfrak{T}$ $qr(\varphi')\leq q$ $\varphi'\equiv\varphi$

co.combinatorics lo.logic relational-structures

— D. Rusin
nguồn

Đây không phải là một câu hỏi cho Mathoverflow chứ không phải là lý thuyết CS?

— Andrej Bauer

@Andrej, lý thuyết mô hình hữu hạn và độ phức tạp mô tả cũng được coi là một phần của TCS.

— Kaveh

Tuyệt vời, vì vậy nó giống như Bob Harper đã từng nói: toán học là một trường hợp đặc biệt của khoa học máy tính.

— Andrej Bauer

Khoa học máy tính cũng là một trường hợp đặc biệt của toán học, và cả hai cũng là trường hợp đặc biệt của logic, và ngược lại.

— fhyve

Câu trả lời:

Lý thuyết của bất kỳ cấu trúc hữu hạn là mô hình hoàn chỉnh. Trên thực tế, dễ dàng nhận thấy rằng bất kỳ công thức nào đều tương đương với một công thức tồn tại với một bộ định lượng cho mỗi phần tử của cấu trúc, sau đó tất cả các bộ định lượng của công thức gốc có thể được mô phỏng bằng các liên kết và phân tách. Cụ thể, số lượng lượng tử hóa (do đó xếp hạng lượng tử hóa) bị giới hạn bởi kích thước của cấu trúc.

— Emil Jeřábek 3.0
nguồn

Trên thực tế, cần thêm một bộ định lượng phổ quát, cho phép thể hiện rằng không có yếu tố nào nữa. Trong tất cả các câu trả lời, có một giả định cần được đưa ra rõ ràng: sự hiện diện o fequality, nghĩa là x = y là một công thức nguyên tử được phép.

— Thomas S

Không cần định lượng bổ sung. Hãy nhớ rằng chúng ta không cố gắng axiomatize lý thuyết về cấu trúc, nhưng để tìm ra một công thức tương đương với một modulo nhất định cho lý thuyết. Và sự hiện diện của bình đẳng là tiêu chuẩn phổ quát cho logic thứ nhất cổ điển. Sự vắng mặt của nó sẽ cần phải được nêu.

— Emil Jeřábek 3.0

Ah. Bạn đúng rồi. "Lý thuyết Modulo". Liên quan đến sự bình đẳng: vì chúng tôi đang cố gắng giải thích những điều dễ dàng cho những người bên ngoài Logic, sẽ không hại gì khi làm cho khuôn khổ rõ ràng. Thêm một nhận xét: thay thế các bộ lượng hóa bằng các liên từ và bất đồng là hoàn toàn tốt. Tuy nhiên, có một số lựa chọn thay thế: vì một công thức với các biến tự do m xác định mối quan hệ m-ary của A, nên công thức mới có thể, sau khi đoán tất cả các yếu tố và kiểm tra xem cái nào (tự động biến đổi modulo), cũng "liệt kê" tất cả bộ dữ liệu mà công thức cũ mang lại "đúng".

— Thomas S

Để làm cho những gì Emil nói cụ thể hơn một chút: hãy xem xét công thức thể hiện sự tồn tại của k các đối tượng riêng biệt. Điều đó cho thấy chúng ta cần số lượng định lượng không giới hạn.

Bây giờ bạn có một công thức với q quantifier và mô hình của bạn có k đối tượng trong đó bạn có thể biểu thị công thức bằng cách nói rằng k đối tượng khác biệt tồn tại và mối quan hệ giữa chúng có thể được biểu thị dưới dạng CNF.

— Kaveh
nguồn