Vectơ nhị phân

Tôi có một tập hợp nhị phân vectơ S = { s 1 , ... , s n } ⊆ { 0 , 1 } k ∖ { 1 k } và một vector mục tiêu t = 1 k đó là tất cả những vector.$n$$S = \{s_1, \ldots, s_n \} \subseteq \{0,1\}^k \setminus \{1^k\}$$t = 1^k$

Phỏng đoán: Nếu có thể được viết dưới dạng kết hợp tuyến tính của các phần tử của S trên Z / q Z cho tất cả các lũy thừa q , thì t có thể được viết dưới dạng kết hợp tuyến tính của S trên Z , nghĩa là có kết hợp tuyến tính với các hệ số nguyên mà khoản tiền để t qua Z .$t$$S$$\mathbb{Z}/q\mathbb{Z}$ $q$$t$$S$$\mathbb{Z}$$t$$\mathbb{Z}$

Điều này có đúng không? Nó trông quen thuộc với bất cứ ai? Tôi thậm chí không chắc chắn nên sử dụng từ khóa nào khi tìm kiếm tài liệu về chủ đề này, vì vậy bất kỳ đầu vào nào cũng được đánh giá cao.

Quan sát rằng ngược lại chắc chắn giữ: nếu cho nguyên một i , sau đó đánh giá cùng sum mod q đối với bất kỳ mô đun q vẫn mang lại sự bình đẳng; do đó, một tổ hợp tuyến tính với các hệ số nguyên hàm ý sự tồn tại của một tổ hợp tuyến tính cho tất cả các mô đun.$t = \sum_{i=1}^n \alpha_i s_i$$a_i$$q$$q$

Chỉnh sửa 14-12-2017 : Giả thuyết ban đầu mạnh hơn, khẳng định sự tồn tại của tổ hợp tuyến tính trên bất cứ khi nào t là kết hợp tuyến tính mod q cho tất cả các số nguyên tố q . Điều này sẽ dễ khai thác hơn trong ứng dụng thuật toán của tôi, nhưng hóa ra là sai. Đây là một ví dụ phản tác dụng. s 1 , ... , s n được đưa ra bởi các hàng của ma trận này:$\mathbb{Z}$$t$$q$$q$$s_1, \ldots, s_n$

$\left( \begin{array}{cccccc} 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right)$

Mathicala đã xác minh rằng vectơ nằm trong khoảng của các vectơ mod q cho 1000 số nguyên tố đầu tiên, mà tôi lấy bằng chứng đầy đủ rằng đây là trường hợp cho tất cả các số nguyên tố. Tuy nhiên, không có kết hợp tuyến tính số nguyên trên Z : ma trận ở trên có thứ hạng đầy đủ trên R và cách viết duy nhất ( 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 ) dưới dạng kết hợp tuyến tính của $t = (1,1,1,1,1,1)$$q$$\mathbb{Z}$$\mathbb{R}$$(1,1,1,1,1,1)$ trên R đang sử dụng hệ số ( 1 / 2 , 1 / 2 , 1 / 2 , - 1 / 2 , - 1 / 2 , 1 / 2 ) . (Tuy nhiên, bạn không thể viết t dưới dạng kết hợp tuyến tính của các vectơ mod 4 này , vì vậy nó không mâu thuẫn với hình thức cập nhật của phỏng đoán.)$(s_1, \ldots, s_6)$$\mathbb{R}$$(1/2, 1/2, 1/2, -1/2, -1/2, 1/2)$$t$$4$

Giả thuyết được sửa đổi là đúng, ngay cả trong các ràng buộc thoải mái trên và t Có thể là các vectơ số nguyên tùy ý (miễn là tập S là hữu hạn). Lưu ý rằng nếu chúng ta sắp xếp các vectơ từ S thành một ma trận, câu hỏi chỉ cần hỏi về khả năng giải quyết của hệ tuyến tính S x = t trong các số nguyên, do đó tôi sẽ hình thành vấn đề như dưới đây.$S$$t$$S$$S$

$S\in\mathbb Z^{k\times n}$$t\in\mathbb Z^k$$Sx=t$$\mathbb Z$$\mathbb Z/q\mathbb Z$$q$

Điều này có thể được chứng minh theo ít nhất hai cách.

Bằng chứng 1:

$p$$p^m$$p$ $\mathbb Z_p$$p^m$$p^{m'}$$\mathbb Z_p$

$\exists x\,Sx=t$$1$$t$$(\mathbb Z,+,1)$$\mathbb Z$

1. lý thuyết về các nhóm abelian không xoắn,

2. $\forall x\,px\ne1$$p$

3. $\forall x\,\exists y\,(x=py\lor x=py+1\lor\dots\lor x=py+(p-1))$$p$

$\hat{\mathbb Z}$$(\mathbb Z,+,1)$$(\hat{\mathbb Z},+,1)$$Sx=t$$\hat{\mathbb Z}$$\mathbb Z$

$(\mathbb Z,+,1)$$\hat{\mathbb Z}$$\mathbb Z$$\hat{\mathbb Z}$$\mathbb Z$

Bằng chứng 2:

$M\in\mathrm{GL}(k,\mathbb Z)$$N\in\mathrm{GL}(n,\mathbb Z)$$S'=MSN$$t'=Mt$$x$$Sx=t$$x'=N^{-1}x$$S'x'=t'$$x'$$S'x'=t'$$x=Nx'$$Sx=t$$M,M^{-1},N,N^{-1}$

$S$$k\ne n$$Sx=t$$\mathbb Z$

1. $s_{ii}$$S$$t_i$$t$$s_{ii}$

2. $i$$i$$S$$t_i\ne0$

$q$$q\nmid t_i$$q\mid s_{ii}$$Sx=t$$\mathbb Z/q\mathbb Z$