Về phương pháp Pfaffian trong đếm và kết hợp

Gần đây, tôi đã đi qua phần giới thiệu về Thuật toán ba chiều. Tôi bắt gặp một số đối tượng kết hợp được gọi là Pfaffians. Tôi không thực sự biết nhiều về những thứ đó vào lúc này và đã tìm thấy một số cách sử dụng đáng ngạc nhiên mà chúng có thể được sử dụng.

Chẳng hạn, tôi đã biết rằng chúng có thể được sử dụng để đếm hiệu quả số lượng khớp hoàn hảo trong đồ thị phẳng. Ngoài ra, chúng có thể được sử dụng để đếm số lần nghiêng có thể có của bàn cờ bằng cách sử dụng các ô 2 * 1. Kết nối ốp lát có vẻ rất tò mò đối với tôi và tôi đã cố gắng tìm kiếm các tài liệu có liên quan hơn trên web nhưng ở hầu hết các nơi tôi chỉ tìm thấy một hoặc hai tuyên bố về kết nối và không có gì khác.

Tôi chỉ muốn hỏi liệu ai đó có thể đề xuất một số tài liệu tham khảo cho các tài liệu liên quan vì điều đó sẽ thực sự tuyệt vời và tôi mong muốn nghiên cứu một số tài liệu liên quan.

(Đây là một câu hỏi thú vị đối với tôi vì tôi cũng đang đọc về Pfaffian.)

Tôi đề nghị các tài liệu tham khảo sau:

• Chương 8 của cuốn sách tuyệt vời Kết hợp lý thuyết của Lovasz và Plummer.
• Các thuật toán không phân chia trên giấy cho Người xác định và Pfa ffi an: Phương pháp tiếp cận đại số và kết hợp của Rote. Bài viết này liên quan đến Pfaffian với đối tượng tổ hợp được gọi là chuỗi đi bộ khép kín xen kẽ (hay còn gọi là chuỗi clow xen kẽ), cung cấp cho chúng ta thuật toán động (không phân chia) để tính toán Pfaffian.
• Các đường dẫn không phát hiện ra giấy , pfa plane ans và các phân vùng máy bay của Stembridge, cho thấy cách sử dụng Pfaffian để liệt kê các cấu hình trong tổ hợp. Bài viết cũng đưa ra bằng chứng kết hợp về danh tính cơ bản, ví dụ,

  Nếu là ma trận đối xứng lệch, thì .$A$$\mathsf{pf}(A)^2 = \mathsf{det}(A)$

Bạn có thể tìm thấy bài viết này trên các mạch Pfaffian và các tài liệu tham khảo trong đó thú vị; Tôi muốn nói nó là một giới thiệu khép kín về các thuật toán ba chiều cũng như khám phá những gì có thể được thực hiện với Pfaffian.

Điều này thực sự nên là một bình luận, nhưng vì thiếu không gian, tôi đăng bài này như một câu trả lời.

Cảm ơn câu trả lời và ý kiến ​​của mọi người. Gần đây, tôi đã xem qua một cuộc khảo sát khác của Robin Thomas. Bạn có thể tìm thấy nó ở đây http://people.math.gatech.edu/~thomas/PAP/pfafsurv.pdf .

Ngoài điều này, tôi cũng sẽ thêm một tuyên bố về kết nối ốp lát (được Giáo sư Dana Randall chỉ ra cho tôi). Nếu bạn lấy lưới kép, thì gạch domino 2x1 chỉ là các cạnh. Do đó, một lát hoàn hảo chính xác là một kết hợp hoàn hảo trong kép. Sau đó, lý thuyết về Pfaffian có thể được sử dụng để đếm các kết hợp hoàn hảo trong đồ thị phẳng.

Điều này có nghĩa là bạn chủ yếu có thể tập trung chủ yếu vào việc đếm các kết hợp hoàn hảo trong biểu đồ - phần còn lại chỉ theo sau một cách tầm thường.

Ngoài ra còn có các tác phẩm được thực hiện bởi Charles Little, Fischer, McCuaig, Robertson, Seymour và Thomas, Loebl, Galluccio, Tesler, Miranda, Lucchesi, de Carvalho và Murty (những người hiện lên trong tâm trí tôi lúc này.)