Trong sách Hott, hầu hết các trình định dạng loại có thừa không? Và nếu vậy, tại sao?

Trong chương 1 và Phụ lục A của sách Hott , một số họ kiểu nguyên thủy được trình bày (loại vũ trụ, loại chức năng phụ thuộc, loại cặp phụ thuộc, Loại sao chép, Loại trống, Loại đơn vị, loại số tự nhiên và loại nhận dạng) để tạo thành nền tảng cho lý thuyết loại Homotopy.

Tuy nhiên, dường như các loại vũ trụ nhất định và các loại chức năng phụ thuộc bạn có thể xây dựng tất cả các loại "nguyên thủy" khác này. Ví dụ, loại rỗng thay vào đó có thể được định nghĩa là

ΠT:U.T

Tôi giả sử các loại khác cũng có thể được xây dựng tương tự như cách chúng ở trong CC thuần túy (nghĩa là chỉ lấy loại từ phần quy nạp của định nghĩa).

Nhiều loại trong số này được dự phòng rõ ràng bởi các loại Cảm ứng / W được giới thiệu trong chương 5 và 6. Nhưng các loại Cảm ứng / W dường như là một phần tùy chọn của lý thuyết vì có những câu hỏi mở về cách chúng tương tác với HoTT (tại ít nhất tại thời điểm cuốn sách ra đời).

Vì vậy, tôi rất bối rối về lý do tại sao các loại bổ sung này được trình bày dưới dạng nguyên thủy. Trực giác của tôi là một lý thuyết nền tảng nên càng tối thiểu càng tốt, và xác định lại một loại rỗng dự phòng như một nguyên thủy vào lý thuyết có vẻ rất tùy tiện.

Là lựa chọn này được thực hiện

cho một số lý do siêu âm mà tôi không biết?
vì lý do lịch sử, để làm cho lý thuyết loại trông giống như các lý thuyết loại quá khứ (mà không nhất thiết phải cố gắng để trở thành nền tảng)?
cho "khả năng sử dụng" của giao diện máy tính?
cho một số lợi thế trong tìm kiếm bằng chứng mà tôi không biết?

Tương tự như: Đặc điểm kỹ thuật tối thiểu của lý thuyết loại Martin-Löf , /cs/82810/reducing-products-in-hott-to-ecl-scott-encodings/82891#82891

type-theory dependent-type homotopy-type-theory

— người dùng833970
nguồn

Chúng là dư thừa, nhưng không phải theo cách bạn đề xuất. Bạn nên tự hỏi " mục đích tối thiểu của nền tảng" phục vụ mục đích gì ? Và chúng ta có quan tâm đến mục đích không?

— Andrej Bauer

Tôi cho rằng công việc kỹ thuật là tối thiểu theo quy ước, trong đó mọi thứ không cần phải tối thiểu nếu nó rõ ràng thuận tiện hoặc được ghi chú rõ ràng khác. Cuốn sách thậm chí còn tuân thủ điều này ở những nơi khác, như khi nó định nghĩa các kiểu cắt ngắn (được xác định bởi các quy tắc, nhưng rõ ràng không phải là tối thiểu). Ví dụ, nếu tôi thấy các nats được định nghĩa theo 0,1,10, người kế nhiệm và vận hành năng lượng, tôi sẽ bối rối, nhưng ít nhất tôi có thể thấy tại sao nó lại thuận tiện về mặt lý thuyết. Hott là một lĩnh vực nghiên cứu phức tạp hơn nhiều và tôi muốn biết nếu tôi thiếu bất cứ điều gì rõ ràng.

— dùng833970

Tôi sẽ rất thích thú khi nghe về cách chúng có thể gây hại. Tôi có nên làm một câu hỏi mới về điều đó?

— dùng833970

@AndrejBauer Tôi cũng muốn biết tại sao chúng cũng có hại. Lý do của tôi để tin rằng ngôn ngữ nền tảng nên tối thiểu là lý do đằng sau dao cạo của nó, đó là sự phức tạp thêm vô lý. Tại sao dừng lại ở đó? Tại sao không thêm danh sách, chuỗi, cặp, bộ ba, vectơ? Những sự lựa chọn có vẻ độc đoán, điều gì biện minh cho họ? Chỉnh sửa: Tôi chỉ nhận thấy câu hỏi này có câu trả lời; nhưng tôi sẽ để lại bình luận này ở đây chỉ vì lý do tại sao tôi cũng quan tâm đến điều đó.

— MaiaVictor

Tôi sẽ viết một bài blog.

— Andrej Bauer

Câu trả lời:

Hãy để tôi giải thích tại sao mã hóa được đề xuất của loại trống không hoạt động. Chúng ta cần phải rõ ràng về các cấp độ vũ trụ và không quét chúng dưới tấm thảm.

Khi mọi người nói "loại trống", họ có thể có nghĩa là một trong hai điều sau:

Một loại duy nhất trống đối với tất cả các loại. Một kiểu như vậy có quy tắc loại trừ: cho mọi và loại gia đình , có một bản đồ . $E$ $n$ $A : E \to U_n$ $e_{n,A} : E \to A$
Một họ các loại , một loại cho mỗi cấp độ vũ trụ , sao cho là "loại rỗng của ". Một kiểu như vậy có để đáp ứng , rõ ràng, và cũng có thể: đối với tất cả các loại gia đình , có một bản đồ . $E_k$ $k$ $E_k$ $U_k$ $E_k : U_k$ $A : E_{k} \to U_k$ $e_{k,A} : E_{k} \to A$

Không có bất kỳ điều khoản nào, khi mọi người nói "loại trống", họ mong đợi ý nghĩa đầu tiên ở trên.

Làm thế nào chúng ta có thể nhận được ? Lần thử đầu tiên có thể giống như $E$ nhưng đây chính xác là kiểu quét dưới tấm thảm tạo ra sự nhầm lẫn. Chúng ta phải viết ra các cấp vũ trụ rõ ràng. Nếu chúng ta viết một cái gì đó như

E = = Π (T : Bạn) . T

$E = \Pi (T : U) \,.\, T$

sau đó chúng tôi nhận được một chuỗi các loại

, một cho mỗi cấp

. Chúng ta có thể hy vọng rằng chuỗi này là loại trống theo nghĩa ở trên, nhưng thực tế không phải vậy, vì

nằm trong

nhưng nó được cho là ở

E_{k} = = Π (T : {Bạn}_{k}) . T

$E_k = \Pi (T : U_k) \,.\, T$

E_{0}, E_{1}, E_{2}, \dots

$E_0, E_1, E_2, \ldots$

k

$k$

E_{k}

$E_k$

U_{k + 1}

$U_{k+1}$

U_{k}

$U_k$

Thử khác là

E = = Π n . Π (T : {Bạn}_{n}) . T

$E = \Pi n \,.\,\Pi (T : U_{n}) \,.\, T$

Π n

$\Pi n$

L

$L$

E = = Π (n : L) . Π (T : {Bạn}_{n}) . T

$E = \Pi (n : L) \,.\,\Pi (T : U_{n}) \,.\, T$

E

$E$

L

$L$

$U$ $B : U \to U$ $\Pi (X : U) B(X)$ $U$ $U$ $\Pi (X : U) X$ $U$

Vũ trụ tưởng tượng có thể được sắp xếp. Tuy nhiên, một định lý nổi tiếng của Thierry Coquand (nếu tôi không nhầm lẫn), cho thấy rằng có hai vũ trụ bị cấm, một vũ trụ chứa trong cái kia, dẫn đến một mâu thuẫn.

Đạo đức của câu chuyện là: chỉ cần axiomatize loại trống trực tiếp và ngừng mã hóa mọi thứ.

— Andrej Bauer
nguồn

Đó là một lý do thuyết phục để axiomatize loại trống, nhưng tôi vẫn tò mò về lý do để axiomatize tất cả những thứ nặng hơn.

— MaiaVictor

@MaiaVictor: trái ngược với những gì?

— Andrej Bauer

Lấy làm tiếc? Tôi chỉ có nghĩa là bạn biện minh một cách thuyết phục tại sao nó là một ý tưởng tốt để axiomatize loại trống nói riêng. Nhưng OP cũng hỏi về những thứ khác: "loại vũ trụ, loại chức năng phụ thuộc, loại cặp phụ thuộc, loại sao chép, loại trống, loại đơn vị, loại số tự nhiên và loại nhận dạng" (mà tôi giả sử cũng là nguyên thủy trên hệ thống được đề xuất trên Sách HoTT). (Tôi rõ ràng không yêu cầu bạn biện minh cho tất cả những điều đó, chỉ thể hiện sự quan tâm của tôi.)

— MaiaVictor

1 = \prod_{X : U} (X \to X)

$\mathbb{1} = \prod_{X : U} (X \to X)$

@IngoBlechschmidt tò mò tìm hiểu những loại vấn đề! Nó có vẻ tốt với tôi ...

— MaiaVictor

Bạn đang hỏi một số câu hỏi tương tự nhưng khác biệt.

Tại sao sách HoTT không sử dụng mã hóa Church cho các kiểu dữ liệu?

Mã hóa nhà thờ không hoạt động trong lý thuyết loại Martin-Löf, vì hai lý do.

$n$ $k < n$

Thứ hai, ngay cả khi bạn đã xác định các kiểu dữ liệu như các số tự nhiên với mã hóa Church, để làm bằng chứng với các loại này, bạn cần các nguyên tắc cảm ứng để chứng minh mọi thứ về chúng. Để rút ra các nguyên tắc cảm ứng cho mã hóa của Giáo hội, bạn cần sử dụng một đối số dựa trên tham số của Reynold, và câu hỏi làm thế nào để nội tâm hóa các nguyên tắc tham số vào lý thuyết loại vẫn chưa được giải quyết đầy đủ. (Trạng thái của nghệ thuật là Nuyts, Vezzosi và Devriese's ICFP 2017 định lượng tham số cho lý thuyết loại phụ thuộc - lưu ý rằng điều này là tốt sau khi cuốn sách HoTT được viết!)
Tiếp theo, bạn đang hỏi tại sao nền tảng không phải là tối thiểu. Đây thực sự là một trong những đặc điểm xã hội học đặc biệt của nền tảng lý thuyết loại - các nhà lý thuyết loại coi việc có một bộ quy tắc nhỏ là một tiện ích kỹ thuật, không có nhiều ý nghĩa cơ bản. Điều quan trọng hơn rất nhiều là có bộ quy tắc phù hợp, thay vì bộ quy tắc nhỏ nhất .

Chúng tôi phát triển các lý thuyết loại được sử dụng bởi các nhà toán học và lập trình viên, và điều rất quan trọng là các bằng chứng được thực hiện trong lý thuyết loại là những lý thuyết mà các nhà toán học và lập trình viên coi là được thực hiện đúng cách. Điều này là do các nhà toán học lập luận thường coi là có phong cách tốt thường được cấu trúc bằng cách sử dụng các nguyên tắc đại số và hình học quan trọng của lĩnh vực nghiên cứu. Nếu bạn phải sử dụng mã hóa phức tạp thì nhiều cấu trúc bị mất hoặc bị che khuất.

Đây là lý do tại sao ngay cả các bài thuyết trình lý thuyết về logic cổ điển mệnh đề luôn luôn cung cấp tất cả các kết nối logic, mặc dù nó chính thức tương đương với logic chỉ bằng NAND. Chắc chắn, tất cả các kết nối boolean có thể được mã hóa bằng NAND, nhưng mã hóa đó che khuất cấu trúc của logic.

— Neel Krishnaswami
nguồn

Cảm ơn câu trả lời này! Tôi sẽ cần đọc tờ giấy đó (và của bạn) và nó có thể có ý nghĩa hơn. Nhưng, tôi nghĩ hệ thống phân cấp vũ trụ được thiết kế để làm cho nó trông giống như bạn có thể làm những việc dự đoán: ví dụ (A: U.λa: Aa) (A: UA → A) sẽ chuyển sang (λA: Un + 1.λa: Aa) (A: Un.A → A). Tôi nghĩ rằng đó là một lựa chọn biên tập kỳ lạ không giải thích điều này, mỗi cuốn sách logic tôi biết chỉ ra một số mã hóa tối thiểu hơn như CNF, DNF, NAND, v.v. Và bất cứ ai được sử dụng để thiết lập lý thuyết đều mong đợi một mã hóa "tự nhiên" của Nats, để chứng minh lý thuyết. Nhưng đó có thể chỉ là những thành kiến cổ điển của tôi.

— dùng833970

đó phải là "tạm thời" trong bình luận cuối cùng của tôi

— user833970

\prod (T : U_{n}) . T

$\prod (T : U_n) . T$

U_{n}

$U_n$

U_{n + 1}

$U_{n+1}$

U_{n}

$U_n$

Có lẽ tôi đang hiểu nhầm một cái gì đó về thứ bậc vũ trụ. Tôi nghĩ rằng chúng ta không bao giờ quan tâm loại vũ trụ cụ thể nào thuộc loại nào, chỉ có thể gán số vũ trụ khi chúng ta muốn xác minh bằng chứng. Vì vậy, về mặt kỹ thuật ΠT: UT là một họ các loại được lập chỉ mục trên các vũ trụ. Giống như bản sắc đa hình là một họ các loại được lập chỉ mục trên các vũ trụ. Nhưng không phải chúng ta có cùng một vấn đề với bản sắc đa hình sao? Tôi thực sự đánh giá cao nó nếu bạn có thể mở rộng trên 2 câu cuối, tôi không nghĩ là mình hiểu.

— dùng833970

Khi bạn nói rằng nó không có thuộc tính loại bỏ đúng, bạn có nghĩa là một khi vũ trụ đã được cố định, có những loại trong vũ trụ cao hơn không thể được tổng hợp trực tiếp bởi một thuật ngữ T: Un.T?

— dùng833970