Độ phức tạp của tính toán các đường đi ngắn nhất trong mặt phẳng với các chướng ngại vật đa giác

Giả sử chúng ta được đưa ra một số đa giác đơn giản khác nhau trong mặt phẳng và hai điểm và bên ngoài mọi đa giác. Vấn đề đường đi ngắn nhất của Euclide là tính toán đường đi ngắn nhất của Euclide từ đến không giao nhau với phần bên trong của bất kỳ đa giác nào. Để cụ thể, chúng ta giả sử rằng tọa độ của và và tọa độ của mọi đỉnh đa giác, là các số nguyên.t s t s $s$$t$$s$$t$$s$$t$

Vấn đề này có thể được giải quyết trong thời gian đa thức?

Tất cả các máy đo địa lý tính toán sẽ ngay lập tức trả lời là có, tất nhiên: John Hershberger và Subhash Suri đã mô tả một thuật toán tính toán các đường đi ngắn nhất của Euclide trong thời gian và thời gian này là tối ưu trong mô hình cây tính toán đại số. Thật không may, thuật toán của Hershberger và Suri (và gần như tất cả các thuật toán liên quan trước và kể từ đó) dường như yêu cầu số học thực sự chính xác theo nghĩa mạnh mẽ sau đây.$O(n\log n)$

Gọi một đường đa giác hợp lệ nếu tất cả các đỉnh bên trong của nó là các đỉnh chướng ngại vật; mọi con đường ngắn nhất của Euclide đều hợp lệ. Độ dài của bất kỳ đường dẫn hợp lệ nào là tổng căn bậc hai của số nguyên. Do đó, so sánh độ dài của hai đường dẫn hợp lệ đòi hỏi phải so sánh hai tổng căn bậc hai, mà chúng ta không biết làm thế nào trong thời gian đa thức .

Hơn nữa, có vẻ như hoàn toàn hợp lý rằng một trường hợp tùy ý của vấn đề tổng bình phương có thể được giảm xuống thành một vấn đề đường đi ngắn nhất tương đương Euclide.

Vậy: Có thuật toán đa thức thời gian để tính toán các đường đi ngắn nhất của Euclide không? Hay là vấn đề NP-hard? Hoặc tổng-căn-vuông-cứng ? Hay cái gì khác?

Một vài lưu ý:

• Các đường dẫn ngắn nhất bên trong (hoặc bên ngoài) một đa giác có thể được tính trong thời gian mà không có bất kỳ vấn đề số lạ nào bằng thuật toán phễu tiêu chuẩn, ít nhất là nếu đưa ra một tam giác của đa giác.$O(n)$

• Trong thực tế, số học dấu phẩy động là đủ để tính toán các đường dẫn ngắn nhất đến độ chính xác của dấu phẩy động. Tôi chỉ quan tâm đến sự phức tạp của vấn đề chính xác .

• John Canny và John Reif đã chứng minh rằng vấn đề tương ứng trong 3 không gian là NP-hard (về mặt đạo đức bởi vì có thể có một số lượng các con đường ngắn nhất theo cấp số nhân). Joonsoo Choi, Jürgen Sellen và Chee-Keng Yap đã mô tả sơ đồ xấp xỉ thời gian đa thức.

• Simon Kahan và Jack Snoeyink đã xem xét các vấn đề tương tự cho vấn đề liên quan của các đường dẫn liên kết tối thiểu trong một đa giác đơn giản.

Có thể tôi bỏ lỡ điều gì đó, nhưng nếu chúng ta xem xét trường hợp "dễ", trong đó tất cả các chướng ngại vật là điểm, thì chúng ta có vấn đề tính toán con đường ngắn nhất giữa hai đỉnh trong đồ thị phẳng, mà nếu tôi không sai, thì tôi đã biết như tổng của căn bậc hai-cứng.

Tái bút Tôi muốn thêm một bình luận và không trả lời, nhưng tôi không thể tìm thấy làm thế nào. Tôi xin lỗi vì điều đó. Các quản trị viên có thể giúp tôi với điều này.