Độ rộng đường truyền của lưới 3D (lưới hoặc lưới) với độ dài k là bao nhiêu?

Tôi đã hỏi câu hỏi này vài tuần trước tại mathoverflow , nhưng tôi không nhận được câu trả lời.

Ở đây, bằng 3D-lưới của sidelength $k$ Ý tôi là đồ thị $G=(V,E)$ với $V= \{1,\ldots,k\}^3$ và $E=\{( (a,b,c) ,(x,y,z) ) \mid |a-x|+|b-y|+|c-z|=1 \}$ , tức là, các nút được đặt ở tọa độ nguyên 3 chiều giữa 1 và$k$ và một nút được kết nối với tối đa 6 nút khác khác nhau theo một tọa độ chính xác bởi một tọa độ.

Tên của biểu đồ này là gì? Tôi sẽ sử dụng lưới 3D, nhưng có lẽ lưới 3D hoặc lưới 3D là những gì người khác đã quen.

Treewidth hoặc băng thông của biểu đồ này là gì? Điều này đã được công bố ở đâu đó?

Tôi biết đã có , tức là nó thực sự nhỏ hơn k 2 . Đối với tôi, điều này cho thấy rằng các đối số tiêu chuẩn cho thấy k × k 2D-lưới có treewidth và pathwidth k sẽ không dễ dàng khái quát.$tw(G) = (3/4) k^2 + O(k)$$k^2$$k\times k$$k$

Để thấy điều này, chúng ta xem xét một phân hủy con đường mà "quét" lưới sử dụng chủ yếu là nút-bộ dạng . Quan sát | S c | ≤ ( 3 / 4 ) k 2 + O ( k ) , S 3 / 2 k là bộ lớn nhất như vậy. Các bộ giữa S c và$S_c= \{(x,y,z)\mid x+y+z = c\}$$|S_c| \leq (3/4) k^2 + O(k)$$S_{3/2 k}$$S_c$ được tạo bằng cách quét bằng một dòng và cầncác nút bổ sung O ( k ) làm dấu phân cách. Chính xác hơn, sử dụng các bộ S c , d = { ( x , y , z ) ∣ ( x + y + z = c ∧ x ≤ d ) ∨ ( x + y + z = c ∧ x ≥ d ) $S_{c+1}$$O(k)$$S_{c,d} = \{(x,y,z)\mid (x+y+z = c \wedge x \leq d ) \vee (x+y+z = c \wedge x \geq d ) \}$như một phân hủy con đường của .$G$

Tôi cũng có một ý tưởng cho một bằng chứng cho thấy chương trình , nhưng điều đó vẫn chưa kết thúc.$tw(G) = \Omega(k^2)$

Độ rộng đường truyền của có thể được xác định là hệ quả của một số kết quả đã biết. FitzGerald [2] cho thấy băng thông của P 3 k là ⌊ $P^3_k$$P^3_k$. Harper [3] đã đưa ra một điều kiện sao cho nếu một đồ thị thỏa mãn điều kiện đó thì băng thông và băng thông của nó là như nhau. Moghadam [4,5] và Bollobás và Nhà lãnh đạo [1] độc lập cho thấy rằng bất kỳ lưới đa chiều nào cũng thỏa mãn điều kiện của Harper. Những kết quả này ngụ ý rằng độ rộng đường dẫn củaP 3 k cũng là⌊$\lfloor \frac{3}{4} k^{2} + \frac{1}{2} k \rfloor$$P^3_k$.$\lfloor \frac{3}{4} k^{2} + \frac{1}{2}k \rfloor$

Trong bài báo của chúng tôi được đề cập bởi Hsien-Chih, chúng tôi đã khái quát kết quả của FitzGerald như Yoshio đã giải thích. Tôi tin rằng treewidth của không được biết đến.$P^3_k$

FYI: Tôi vừa gửi một phiên bản tiếng Anh của bài báo của chúng tôi cho arXiv.

1. B. Bollobás và I. Lãnh đạo, nén và bất đẳng thức đẳng tích, J. Combin. Lý thuyết Ser. A 56 (1991) 47-62.
2. CH FitzGerald, Lập chỉ mục tối ưu các đỉnh của đồ thị, Math. Comp. 28 (1974), 825-831.
3. LH Harper, đánh số tối ưu và các vấn đề đẳng tích trên đồ thị, J. Combin. Lý thuyết 1 (1966) 385-393.
4. HS Moghadam, Toán tử nén và giải pháp cho vấn đề băng thông của sản phẩm của đường dẫn, Ph.D. Luận án, Đại học California, Riverside (1983).$n$
5. HS Moghadam, Băng thông của sản phẩm của đường dẫn, Congr. Số. 173 (2005) 3-15.$n$

Độ rộng đường truyền của lưới 3D đã được nghiên cứu bởi Ryohei Suda, Yota Otachi và Koichi Yamazaki trong Đường dẫn giấy của lưới 3 chiều , IEICE Tech. Báo cáo, 2009.

Nó được tuyên bố trong bản tóm tắt của bài báo rằng

Trong bài báo này, chúng tôi đưa ra độ rộng đường dẫn của lưới 3 chiều ở dạng kín, bằng cách xác định chiều rộng ranh giới đỉnh của chúng.

Tuy nhiên, ràng buộc chính xác không được nêu trong bản tóm tắt và hiện tại tôi không thể truy cập vào toàn bộ bài viết. Có lẽ bạn có thể liên hệ riêng với các tác giả và tự mình trả lời câu hỏi này nếu các tác giả sẵn sàng chia sẻ kết quả.