Nondeterminism là trung bình vô dụng cho các mạch?

Savický và Woods (Số lượng hàm Boolean được tính theo công thức có kích thước cho trước) chứng minh kết quả sau.

Định lý [SW98]: Với mỗi hằng số $k>1$ , hầu như tất cả các hàm boolean có độ phức tạp công thức nhiều nhất $n^k$ đều có độ phức tạp mạch ít nhất là $n^k/k$ .

Bằng chứng bao gồm xuất phát một giới hạn dưới trên $B(n,n^k)$ , số hàm boolean trên $n$ đầu vào được tính bằng các công thức có kích thước $n^k$ . Bằng cách so sánh $B(n,n^k)$ với số lượng mạch có kích thước $C = n^k/k$ , nhiều nhất là $C^{C}e^{C+4n}$ , có thể nhận ra rằng với lớn $n$, $C^{C}e^{C+4n} << B(n,n^k)$, và kết quả sau.

Theo tôi, kết quả có thể được củng cố bằng cách lưu ý rằng số lượng mạch không điều kiện có kích thước $n^k$ với $m$ đầu vào không xác định không lớn hơn số lượng mạch xác định có kích thước $n^k$ (đối với $m$ không quá lớn, giả sử $m=n$ ). Do đó, tôi nghĩ rằng các hệ quả sau đây:

Hệ luỵ: Đối với mỗi hằng số , gần như tất cả các chức năng boolean với độ phức tạp công thức tối đa là n k có không xác định phức tạp mạch ít nhất n k / k (cho mạch không xác định với n đầu vào không xác định).$k>1$$n^k$$n^k/k$$n$

$x = (x_1,\dots,x_n)$$y=(y_1,\dots,y_m)$$C$$x$$y$$1$$(x,y)$

$B(n,n^k)$$n$$n^k$$n^k$$n^k$

Câu hỏi:

(1) Có bất kỳ ý nghĩa / hậu quả thú vị nào của hệ quả trên không?

(2) Có kết quả nào khác theo cùng một hướng không? Ví dụ, những gì được biết về các đề xuất sau đây? Đối với các vấn đề trong P, trung bình, việc chuyển đổi từ TM sang NTM không thể làm giảm độ phức tạp nhiều hơn một yếu tố không đổi.

(Gil Kalai cũng có một câu hỏi liên quan đến câu hỏi này.)

$2^k$$k$

2) Đối với các lớp thống nhất như P, điều này khó khăn hơn, vì không có định nghĩa rõ ràng về "hàm trung bình trong P" và các đối số đếm không còn hoạt động quá rõ ràng. Nó phù hợp với kiến ​​thức hiện tại rằng mọi thứ trong P có thể được giải quyết trong thời gian tuyến tính không xác định.