Làm thế nào mà Hard Hard cứng là nó để tối đa hóa một hàm đa thức chịu các ràng buộc tuyến tính?

Vấn đề chung

Giả sử chúng ta có hàm đa thức và một số hàm tuyến tính . Những gì được biết về sự phức tạp của việc giải quyết vấn đề tối ưu hóa sau đây? $f(\mathbf{x})$ $\ell_i(\mathbf{x})$

\begin{aligned} Tối đa hóa & f (x) \\ Theo: & ℓ_{Tôi} (x) \leq 0 cho tất cả Tôi \end{aligned}

$\begin{align*} \text{Maximize} & \;\; f(\mathbf{x}) \\ \text{Subject to: } & \;\, \ell_i(\mathbf{x}) \le 0\text{ for all } i \end{align*}$

Chúng ta có thể giả định rằng khu vực được xác định bởi các ràng buộc bị giới hạn.

Liên quan, nhưng cụ thể hơn, vấn đề

Giả sử chúng ta có một đa giác giới hạn (được biểu diễn là giao điểm của một tập hợp bất đẳng thức tuyến tính). Tôi muốn tính thể tích tối đa của một siêu hình chữ nhật (song song trục) hoàn toàn chứa trong đa giác. Sự phức tạp của việc giải quyết vấn đề này là gì?

Trợ giúp về một trong những vấn đề này được đánh giá rất cao.

— Naysh
nguồn

Bạn có thể muốn xem bài báo này .

— Rodrigo de Azevedo

Bạn có thể muốn hỏi riêng vấn đề thứ hai của mình, trong một bài riêng.

— DW

Vấn đề của bạn là NP-hard, ngay cả đối với đa thức bậc 2. Tài liệu tham khảo quan trọng là

Theodore Motzkin và Ernst Strauss (1965)
"Maxima cho đồ thị và một bằng chứng mới về một định lý của Turan"
Tạp chí Toán học Canada 17, trang 533-540

Motzkin và Strauss xem xét một đồ thị vô hướng $G=(V,E)$ với tập đỉnh là $V=\{1,2,\ldots,n\}$ . Chúng chỉ ra rằng giá trị mục tiêu tối ưu của bài toán tối ưu hóa sau trùng khớp với tỷ $1/\omega$ của số clique $\omega$ của $G$ :

\begin{array}{rcl} tối đa & \underset{Tôi j \in E}{Σ} x_{Tôi} x_{j} \\ S . t . & \underset{Tôi \in V}{Σ} x_{Tôi} = = 1 \\ 0 \leq x_{Tôi} \leq 1 cho tất cả Tôi \in V \end{array}

$\begin{eqnarray*} \max &&\sum_{ij\in E} x_ix_j \\[2ex] s.t. &&\sum_{i\in V} x_i=1 \\[1ex] && 0\le x_i\le 1~~~ \text{ for all $i\in V$} \end{eqnarray*}$

Vì tính toán số clique là NP-hard, điều này hàm ý độ cứng NP trong việc tối đa hóa hàm đa thức đa biến chịu các ràng buộc tuyến tính.

— Trò chơi
nguồn

x_{v}

$x_v$

1 / ω

$1/\omega$

v

$v$

0

$0$

(1 - 1 / ω) / 2

$(1-1/\omega)/2$

1 / ω

$1/\omega$

(ω^{2} - ω) / 2

$(\omega^2-\omega)/2$

1 / ω^{2}

$1/\omega^2$ để chọn. Tổng quát hóa tự nhiên của tính toán tương tự này cho thấy rằng điều này là tối ưu.

— Yonatan N