Đóng cửa bắc cầu của một mối quan hệ affine

Tôi đang tìm kiếm công việc về tính toán đóng cửa bắc cầu của một mối quan hệ affine theo nghĩa sau:

Đặt là mối quan hệ được xác định bởi một hệ bất phương trình tuyến tính so với các biến thực , tức làx 1 , Lôi , x n , x ′ 1 , Điên , x ′ $R(x_1,\dots,x_n,x'_1,\dots,x'_n)$$x_1,\dots,x_n,x'_1,\dots,x'_n$

Một x 1 ... x n x ' 1 ... x ' n ≤ $R(x_1,\dots,x_n,x'_1,\dots,x'_n)$ iff $A x_1\dots x_n x'_1\dots x'_n \leq b$

Trong đó là ma trận và là -vector.m × 2 n b $A$$m\times 2n$$b$$m$

Tôi đang tìm kiếm một đại diện mang tính biểu tượng của , nơi$R^k$

$R^k(x_1,\dots,x_n,x'_1,\dots,x'_n)$ iff tồn tại sao cho và .R k - 1 ( x 1 , ... , x n , y 1 , ... , y n ) R ( y 1 , ... , y n , x ' 1 , ... , x ' n$y_1,\dots,y_n$$R^{k-1}(x_1,\dots,x_n,y_1,\dots,y_n)$$R(y_1,\dots,y_n,x'_1,\dots,x'_n)$

Như một ví dụ rất đơn giản, hãy xem xét

khi và chỉ khi x ' ≤ x + 1 và x ' ≥ $R(x,x')$$x'\leq x+1$$x'\geq \frac{1}{2} x$

Trong trường hợp này, khi và chỉ khi x ' ≤ x + k và x ' ≥ $R^k(x,x')$$x'\leq x+k$$x'\geq \frac{1}{2^k} x$

Có một trường hợp đặc biệt dễ dàng trong đó tất cả các ràng buộc là đẳng thức: sau đó chúng ta có thể áp dụng loại bỏ Gauss để tìm phép biến đổi affine ánh xạ sang (phụ thuộc) x ′ j và tính công suất thứ k của nó . Nhưng tất nhiên nói chung, R sẽ không hoạt động.$x_i$$x'_j$$k$$R$

Vấn đề dường như cũng dễ dàng hơn khi mô tả một đa giác mở một hình nón lồi, nhưng tôi không thể giả sử điều này.$R$

Chỉnh sửa: Tôi đang tìm một dạng tham số độc lập với giá trị cụ thể của (như trong ví dụ về đồ chơi). Đối với một giá trị k cho trước , luôn có thể thu được đại diện của R k từ R k - 1 và R bằng cách loại bỏ biến.$k$$k$$R^k$$R^{k-1}$$R$

Một câu trả lời trong trường hợp monoid do tạo ra để nhân ma trận là hữu hạn: Alain Finkel và Jérôme Leroux, Cách soạn thảo gia tốc Presburger: Ứng dụng cho các giao thức phát sóng , trong FSTTCS 2002 (Cơ sở công nghệ phần mềm và khoa học máy tính lý thuyết) Khoa học 2556, trang 145--156, DOI: 10.1007 / 3-540-36206-1_14 , 2002 (xem thêm nhiều tài liệu tham khảo ở đó). Mối quan hệ R k được biểu diễn bằng một công thức Presburger có thể tính toán hiệu quả.$A$$R^k$

Một tài liệu tham khảo gần đây hơn về chủ đề thực sự tính toán đóng cửa bắc cầu là Marius Bozga, Radu Iosif và Filip Konečný, Tăng tốc nhanh mối quan hệ định kỳ cuối cùng , trong CAV 2010 (Xác minh hỗ trợ máy tính), Ghi chú bài giảng trong Khoa học máy tính 6174, trang 227-- 242, DOI: 10.1007 / 978-3-642-14295-6_23 , 2010.