Sự phức tạp của trò chơi này là gì?

Đây là một khái quát của câu hỏi trước đây của tôi .

Hãy là một đa thức-cỗ máy thời gian xác định, có thể đặt câu hỏi với một số oracle . Ban đầu trống nhưng điều này có thể được thay đổi sau một trò chơi sẽ được mô tả dưới đây. Đặt x là một chuỗi.$M$$A$$A$$x$

Hãy xem xét các trò chơi Alice và Bob sau đây. Ban đầu, Alice và Bob có $m_A$ và $m_B$ đô la tương ứng. Alice muốn $M^A(x)=1$ và Bob muốn $M^A(x)=0$ .

Ở mỗi bước của trò chơi, người chơi có thể thêm một số chuỗi $y$ vào $A$ ; cái này có giá $f(y)$ đô la, trong đó $f: \{0,1\}^* \to \mathbb{N}$ là hàm tính toán thời gian đa thức. Ngoài ra một người chơi có thể bỏ lỡ bước của mình.

Vở kịch kết thúc nếu cả hai người chơi tiêu hết tiền hoặc nếu một người chơi nào đó bỏ lỡ bước khi anh ta hoặc cô ta ở vị trí thua (điều đó được xác định bởi giá trị hiện tại của $M^A(x)$ ).

Câu hỏi: là vấn đề xác định người chiến thắng trong trò chơi này với $M, f, x, m_A, m_B$ là một

EXPSPACE - hoàn thành nhiệm vụ?

Lưu ý rằng $M$ có thể yêu cầu (đối với thuộc $A$ ) chỉ chuỗi có độ dài đa thức như vậy không có ý nghĩa đối với Alice hay Bob để thêm các chuỗi dài hơn để $A$ . Do đó, vấn đề này là trong EXPSPACE .

Trong câu hỏi trước đây của tôi, việc thêm mỗi chuỗi vào $A$ tốn một đô la (tức là $f \equiv 1$ ). Sau đó (như được hiển thị bởi Lance Fortnow ) trò chơi này thuộc về EXPH và thậm chí là PSPACE nếu $m_A = m_B$ .

Điều này nên được hoàn thành EXPSPACE. Tôi sẽ phác thảo làm thế nào để đạt được số lần thay thế theo cấp số nhân, mà không giảm bất kỳ vấn đề hoàn thành EXPSPACE nào cho vấn đề này, nhưng từ đây sẽ rất đơn giản để kết thúc.

Biểu thị các từ trong oracle sau vòng bởi , vì thế ban đầu . Suy ra các từ được truy vấn bởi bởi . Các quan sát chính là bất cứ ai đang mất dần với , có thể giả định để thêm một cái gì đó từ để . Điều này là do trong trò chơi này, mỗi lần di chuyển đều tốn tiền, chúng tôi muốn di chuyển ít nhất có thể; không có điểm nào để di chuyển cho đến khi chúng ta chiến thắng. Nhưng điều này cũng ngụ ý rằng nếu chúng ta thua, sẽ không có điểm nào thêm từ bên ngoài .$t$$A_t$$A_0=\emptyset$$M^{A_t}$$Q_t$$A_t$$Q_t$$A$$Q_t$

Giả sử cho đơn giản rằng chạy cho chính xác bước và ở bước và nó truy vấn một từ có độ dài chính xác . Hàm chi phí đơn giản sẽ là trên các từ có độ dài . Trò chơi sẽ được như vậy mà Alice luôn cần thêm từ chiều dài lẻ và Bob luôn cần thêm từ chiều dài thậm chí đến . Giả sử là số lẻ và ban đầu Alice đang thua.$M$$2n$$2i$$2i+1$$i$$f$$2^{-i}$$i$$A$$n$

Ngân sách và sẽ được thiết lập để cô có thể chọn chính xác một trong những độ dài từ truy vấn bởi để được thêm vào . Trò chơi sẽ khiến cô ấy trở thành người chiến thắng, vì vậy Bob sẽ phải di chuyển. Một lần nữa do hạn chế về ngân sách, ông sẽ phải chọn chính xác một trong những độ dài từ truy vấn bởi để được thêm vào . Sau khi bất kỳ từ nào trong số này được thêm vào, sẽ truy vấn hai từ có độ dài mới (cùng một từ, bất kể từ nào Bob thêm vào ) và Bob sẽ giành chiến thắng. Alice sẽ bị buộc phải thêm chính xác một trong những chiều dài mới$m_A$$m_B$$n$$M^{A_0}$$A$$n-1$$M^{A_1}$$A$$M^{A_2}$$n$$A$$n$lời nói với để làm cho cô ấy giành chiến thắng.$A$

Trò chơi tiếp tục theo cách này, có thể được tưởng tượng theo các nhánh của cây nhị phân hoàn chỉnh có độ sâu , mặc dù tại mỗi nút phân nhánh, một trong những người chơi (được xác định theo độ chẵn của độ sâu của nút) cần thực hiện một sự lựa chọn về các từ đó để thêm vào . Sau khi họ đi qua cây, họ sẽ hết ngân sách. Nếu ở bất kỳ giai đoạn nào của trò chơi, một trong số họ quyết định thêm một số từ ngắn hơn (ví dụ: Alice có độ dài từ$n$$A$$k<n$$Q_0$ở bước đầu tiên), sau đó nếu người chơi khác (trong ví dụ Bob của chúng tôi) chỉ chơi luôn từ dài nhất có thể trong cây nhị phân, anh ta sẽ có một số tiền còn lại ở cuối và chúng tôi tạo trò chơi để anh ta có thể sử dụng để thắng. (Lưu ý rằng Alice cũng có thể còn một số tiền, nhưng Bob sẽ có nhiều hơn, vì vậy chúng tôi thiết kế trò chơi kết thúc rằng nếu một trong số họ có nhiều tiền hơn, thì người chơi đó có thể giành chiến thắng.)

Bằng cách này, Alice quyết định cho nhiều cặp từ có độ dài theo cấp số nhân và Bob về nhiều từ có độ dài theo cấp số nhân mà một trong hai cặp đi đến và họ đưa ra những lựa chọn này theo cách xen kẽ.$A$