Có một thuật toán tìm thấy vị thành niên bị cấm?

Các Robertson-Seymour lý nói rằng bất kỳ nhỏ kín gia đình $\mathcal G$ của đồ thị có thể được đặc trưng bởi sự hữu hạn nhiều trẻ vị thành niên bị cấm.

Có một thuật toán cho một đầu vào $\mathcal G$ xuất ra các vị thành niên bị cấm hoặc điều này là không thể giải quyết được?

Rõ ràng, câu trả lời có thể phụ thuộc vào cách $\mathcal G$ được mô tả trong đầu vào. Ví dụ: nếu $\mathcal G$ được cung cấp bởi $M_\mathcal G$ có thể quyết định tư cách thành viên, chúng tôi thậm chí không thể quyết định liệu $M_\mathcal G$ có từ chối bất cứ điều gì không. Nếu $\mathcal G$ được đưa ra bởi rất nhiều trẻ vị thành niên bị cấm - tốt, đó là những gì chúng tôi đang tìm kiếm. Tôi sẽ tò mò muốn biết câu trả lời nếu $M_\mathcal G$ được đảm bảo dừng trên bất kỳ $G$ nào trong một khoảng thời gian cố định trong $|G|$ . Tôi cũng quan tâm đến bất kỳ kết quả liên quan nào, trong đó $\mathcal G$ được chứng minh là đóng nhỏ với một số chứng chỉ khác (như trong trường hợp của $TFNP$ hoặcBÀI VIẾT SAU).

Cập nhật: Phiên bản đầu tiên của câu hỏi của tôi hóa ra khá dễ dàng, dựa trên ý tưởng của Marzio và Kimpel, hãy xem xét việc xây dựng sau đây. $M_\mathcal G$ chấp nhận đồ thị trên $n$ đỉnh khi và chỉ khi $M$ không dừng lại ở $n$ bước. Đây là đóng nhỏ và thời gian chạy chỉ phụ thuộc vào $|G|$ .

graph-theory decidability graph-minor

— động vật
nguồn

Nếu

được đại diện bởi một TM

luôn luôn dừng , bạn có thể giảm vấn đề tạm dừng với nó: đưa ra

build

tạo ra có khi và chỉ khi

dừng chính xác trong

bước (

là một đồ thị liệt kê tiêu chuẩn).

chấp nhận nhiều nhất là một nhỏ bị cấm, vì vậy

là một gia đình nhỏ kín, vì vậy vấn đề là undecidable.

G

$\mathcal G$

M_{G}

$M_\mathcal G$

M

$M$

M_{G} (G_{x})

$M_\mathcal G( G_x )$

M

$M$

x

$x$

(G_{1}, G_{2}, . . .

$(G_1,G_2,...$

M_{G} (G_{x})

$M_\mathcal G( G_x )$

G

$\mathcal G$

— Marzio De Biasi

@ThomasKlimpel: Ops, tôi hiểu sai câu hỏi. Có lẽ cách khắc phục là:

tìm kiếm

đầu tiên

sao cho

dừng chính xác trong

M_{G} (G_{x})

$M_\mathcal G( G_x )$

G_{i}, i \leq x

$G_i, i \leq x$

M

$M$

i

$i$ các bước sau đó chấp nhận nếu

không phải là phụ của

; từ chối khác.

G_{i}

$G_i$

G_{x}

$G_x$

— Marzio De Biasi

@Marzio Có, để đơn giản hóa:

M_{G}

$M_\mathcal G$ chấp nhận biểu đồ trên

đỉnh khi và chỉ khi

không dừng lại trong

bước. Đây là đóng nhỏ và thời gian chạy chỉ phụ thuộc vào

n

$n$

M

$M$

n

$n$

| G |

$|G|$

— domotorp

Vâng, tôi giải thích dừng lại rằng nếu

dừng lại trong

bước, thì chúng tôi cũng nói rằng nó dừng lại trong

bước.

M

$M$

2

$2$

3

$3$

— domotorp

@domotorp Vì công trình xây dựng của bạn (nếu tôi không nhầm) và trả lời một trong những câu hỏi của bạn (và vì Marzio De Biasi và tôi đã cố gắng đưa ra một công trình đơn giản như vậy nhưng không thành công), tôi nghĩ bạn nên biến công trình của mình thành câu trả lời thích hợp. Bạn có thể biến nó thành một wiki cộng đồng, nếu bạn cảm thấy không yên tâm khi trả lời câu hỏi của chính mình. Ngoài ra, bạn có thể chỉnh sửa câu hỏi của bạn và thêm câu trả lời ở đó.

— Thomas Klimpel

Câu trả lời của Mamadou Moustapha Kanté (người đã làm Tiến sĩ dưới sự giám sát của Bruno Courcelle) cho một câu hỏi tương tự trích dẫn một Lưu ý về Khả năng tính toán của Bộ cản trở đồ thị cho các lý tưởng thứ hai đơn nguyên (1997) của B. Courcelle, R. Downey, và M. Nghiên cứu cho kết quả không tính toán được (đối với các lớp biểu đồ có thể xác định được MSOL , tức là các lớp được xác định theo công thức bậc hai Monadic) và các chướng ngại vật của một biểu đồ đóng nhỏ được xác định bởi ngữ pháp không ngữ cảnh (1998) bởi B . Courcelle và G. Sénizergues cho kết quả tính toán (đối với các lớp biểu đồ có thể xác định HR , tức là các lớp được xác định bởi ngữ pháp Hyperedge thay thế).

Sự khác biệt quan trọng giữa trường hợp tính toán và trường hợp không tính toán được là các lớp đồ thị có thể xác định HR (đóng nhỏ) đã giới hạn treewidth, trong khi các lớp đồ thị có thể xác định MSOL không bị ràng buộc không cần phải bị ràng buộc. Trong thực tế, nếu một lớp đồ thị có thể xác định MSOL (đóng nhỏ) đã giới hạn treewidth, thì đó cũng là HR-definable.

Treewidth dường như thực sự là phần quan trọng để phân tách tính toán với các trường hợp không tính toán được. Một kết quả được biết đến khác (của M. Fellows và M􏰊. Langston) về cơ bản nói rằng nếu một giới hạn cho treewidth tối đa (hoặc độ rộng đường dẫn) của tập hợp hữu hạn của các vị thành niên bị loại trừ được biết đến, thì tập hợp tối thiểu của các vị thành niên bị loại trừ sẽ trở thành tính toán

Người ta thậm chí còn không biết liệu tập hợp nhỏ nhất (hữu hạn) của các vị thành niên bị loại trừ cho liên minh (được đóng nhỏ không đáng kể) của hai lớp biểu đồ đóng nhỏ, mỗi lớp được đưa ra bởi tập hợp các vị thành niên bị loại trừ tương ứng của chúng có thể được tính hay không, nếu không có thông tin về treewidth (hoặc băng thông) có sẵn. Hoặc có thể nó thậm chí đã được chứng minh trong khi đó nó không thể tính toán được nói chung.

— Thomas Klimpel
nguồn

Phần cuối này khá thú vị. Nếu hiểu rõ, điều này ngụ ý sau đây. Đối với họ đồ thị

, biểu thị bằng

kích thước của tiểu nhỏ bị cấm lớn nhất. Hãy để

. Bạn có biết một số ví dụ cho thấy

phát triển rất nhanh không?

G

$\mathcal G$

m (G)

$m(\mathcal G)$

. Sau đó, không có giới hạn đệ quy trên cho

f (n) = max {m (G_{1} \cup G_{2}) ∣ m (G_{1}), m (G_{2}) \leq n}

$f(n)=\max \{m(\mathcal G_1 \cup \mathcal G_2)\mid m(\mathcal G_1),m(\mathcal G_2)\le n\}$

f (n)

$f(n)$

f (n)

$f(n)$

— vật

@domotorp Tôi đồng ý, điểm tốt. Tôi có một số ý tưởng cho các ví dụ như vậy, nhưng tôi có ấn tượng rằng tốc độ tăng trưởng của tất cả các ví dụ của tôi (mà về cơ bản là cố gắng chơi với kích thước "lưới") sẽ ở trong lớp. Tuy nhiên, tôi tin rằng nếu tôi muốn đầu tư thời gian vào những câu hỏi đó, thì trước tiên tôi nên thực hiện một nghiên cứu văn học về những gì đã xảy ra trong những năm 2000-2018, có lẽ bằng cách xem các bài báo trích dẫn các bài báo mà tôi biết hoặc bằng cách xem tại các ấn phẩm sau này của các tác giả đã làm việc trên những câu hỏi.

— Thomas Klimpel

Tôi hiểu rồi - chà, tôi không tuyệt vọng khi biết câu trả lời, chỉ là tôi đã ngạc nhiên và trở nên tò mò ...

— domotorp

@domotorp Tập hợp tối thiểu các vị thành niên bị loại trừ cho liên minh đã được chứng minh là có thể tính toán được trong năm 2008: logic.las.tu-berlin.de/Members/Kreutzer/Publications/

— Thomas Klimpel