Là hàm đếm số nguyên tố # P-hoàn chỉnh?

20

Nhắc lại $\pi(n)$ số lượng các số nguyên tố $\le n$ là hàm đếm số nguyên tố . Theo "PRIMES in P", tính toán $\pi(n)$ nằm trong #P. Là vấn đề # P-đầy đủ? Hoặc, có lẽ, có một lý do phức tạp để tin rằng vấn đề này không hoàn thành # P?

Tái bút Tôi nhận ra điều này hơi ngây thơ vì ai đó phải nghiên cứu vấn đề và chứng minh / từ chối / phỏng đoán điều này, nhưng dường như tôi không thể tìm thấy câu trả lời trong tài liệu. Xem ở đây nếu bạn tò mò tại sao tôi quan tâm.

cc.complexity-theory counting-complexity nt.number-theory comp-number-theory primes

— Igor Pak
nguồn

5

@MohsenGhorbani: Không, không phải là vấn đề "tương tự". Thậm chí không giống nhau.

— Igor Pak

4

Không có bằng chứng chống lại, chỉ tò mò: chúng ta có biết một hàm

duy nhất

f (n)

$f(n)$ là # P-Complete thực sự coi n là một số không? Đó là, chúng ta luôn có thể xem biểu diễn nhị phân của n và coi chuỗi nhị phân đó là công thức hoặc biểu đồ SAT, nhưng tôi muốn tránh điều đó.

— Joshua Grochow

3

@JoshuaGrochow Các vấn đề khó "tự nhiên" (không phải NT) mà tôi biết với một tham số đều có trong # EXP-c. Một ví dụ về vấn đề như vậy: số lát vuông của

n \times n

$n \times n$ vuông với một khối gạch

cố định

T

$T$ (nghĩa là các gạch không nằm trong đầu vào). Thm: có tồn tại

T

$T$ st vấn đề này là # EXP-c.

— Igor Pak

1

@Joshua Điều này khá liên quan đến tính đầy đủ NP của

f (n)

$f(n)$ , trong đó, rõ ràng, chúng tôi cũng chưa có câu trả lời chắc chắn: cstheory.stackexchange.com/questions/14124/ trộm

— domotorp

2

Lưu ý rằng

# P^{B P P} = # P

$\mathrm{\#P^{BPP}=\#P}$ , do đó,

π

$\pi$ đã ở #P kể từ Miller Miller Rabin.

— Emil Jeřábek hỗ trợ Monica

Câu trả lời:

2

$\pi(n)$ $\pi(n)$ $X$ $Y$ $\mathsf{P}$ $\#\mathsf{P}^X \not\subset \mathsf{P}^{XY}$ $Y$ $\pi(n)$ $X$

— Geoffrey Irving
nguồn

4

Tôi thấy câu cuối gây hiểu lầm. Trong khi thực sự , cái chúng ta thực sự cần ở đây là , và chúng tôi không biết điều này có đúng không. Trên thực tế, điều này tương đương với .

\underset{X}{Pr} [{P P}^{X} \neq P^{X}] = 1

$\Pr_X[\mathrm{PP}^X\ne\mathrm{P}^X]=1$

\underset{X}{Pr} [P P ⊈ P^{X}] = 1

$\Pr_X[\mathrm{PP}\nsubseteq\mathrm{P}^X]=1$

P P \neq B P P

$\mathrm{PP\ne BPP}$

— Emil Jeřábek hỗ trợ Monica

1

@ EmilJeřábek: Chắc chắn, nhưng về mặt bằng chứng cho thấy không hoàn thành # P, nếu ai đó có thể chỉ ra chính thức rằng nếu nó hoàn thành thì P = BPP, tôi sẽ coi đó là bằng chứng khá mạnh chống lại sự hoàn thiện # P ...

π (n)

$\pi(n)$

— Joshua Grochow

3

@JoshuaGrochow Tôi đồng ý với điều đó. Tôi chỉ không nghĩ rằng kết quả trên với lời tiên tri ngẫu nhiên có liên quan.

P^{X} \neq {P P}^{X}

$\mathrm P^X\ne\mathrm{PP}^X$

— Emil Jeřábek hỗ trợ Monica

1

@ EmilJeřábek: Đúng, đó là một điểm tốt. Trước khi tôi chỉnh sửa, bạn có chấp nhận làm bằng chứng thực tế rằng aa đưa ra hai phép lạ ngẫu nhiên, mà tôi nghĩ chúng ta biết?

P^{X Y} \neq # P^{X}

$P^{XY} \ne \#P^X$

— Geoffrey Irving

1

Chúng ta có biết điều đó không?

— Emil Jeřábek hỗ trợ Monica

Khi sử dụng trang web của chúng tôi, bạn xác nhận rằng bạn đã đọc và hiểu Chính sách cookie và Chính sách bảo mật của chúng tôi.

Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.