Tại sao dấu hai chấm để biểu thị rằng một giá trị thuộc về một loại?

Pierce (2002) giới thiệu mối quan hệ đánh máy trên trang 92 bằng cách viết:

Mối quan hệ gõ cho các biểu thức số học, được viết "t: T", được xác định bởi một tập hợp các quy tắc suy luận gán các loại cho các thuật ngữ

và chú thích nói Biểu tượng $\in$ thường được sử dụng thay vì:. Câu hỏi của tôi chỉ đơn giản là tại sao các nhà lý thuyết loại thích sử dụng: hơn $\in$ ? Nếu một loại $T$ là một tập hợp các giá trị thì sẽ rất hợp lý khi viết $t \in T$ , không cần ký hiệu mới.

Đây có phải là tương tự như cách một số nhà văn cs thích $3n^2 = O(n^2)$ thậm chí còn nghĩ nó là lạm dụng ký hiệu và nên được viết $3n^2 \in O(n^2)$ ?

Bởi vì những gì ở bên phải của dấu hai chấm không nhất thiết phải là một tập hợp và những gì ở bên trái của dấu hai chấm không nhất thiết phải là một thành viên của tập hợp đó.

Lý thuyết loại bắt đầu vào đầu thế kỷ 20 như một cách tiếp cận nền tảng của toán học. Bertrand Russel đã khám phá ra một nghịch lý trong lý thuyết tập hợp ngây thơ, và ông đã nghiên cứu lý thuyết loại như một cách để hạn chế sức mạnh biểu cảm của lý thuyết tập hợp để tránh nghịch lý này (và bất kỳ điều gì khác). Trong những năm qua, Russel và những người khác đã xác định nhiều lý thuyết về các loại. Trong một số lý thuyết về các loại, các loại là các tập hợp với các thuộc tính nhất định, nhưng trong các lý thuyết khác, chúng là một loại quái thú khác.

Đặc biệt, nhiều lý thuyết về các loại có một công thức cú pháp . Có những quy tắc gây ra một điều có một loại. Khi các quy tắc gõ được sử dụng làm nền tảng cho một lý thuyết, điều quan trọng là phải phân biệt các quy tắc gõ nói gì với những gì người ta có thể suy luận bằng cách áp dụng kiến ​​thức bên ngoài bổ sung. Điều này đặc biệt quan trọng nếu các quy tắc đánh máy là nền tảng cho một lý thuyết bằng chứng: các định lý dựa trên lý thuyết tập hợp với logic cổ điển và tiên đề của sự lựa chọn có thể hoặc không thể giữ trong logic xây dựng, ví dụ. Một trong những giấy tờ tinh trong lĩnh vực này là Giáo Hội của một công thức của lý thuyết đơn giản của các loại (1940)

Có lẽ cách phân biệt giữa các loại và tập hợp rõ ràng nhất là quy tắc cơ bản nhất cho các bộ, cụ thể là hai bộ bằng nhau nếu chúng có cùng các phần tử, thường không áp dụng cho các loại. Xem câu trả lời của Andrej Bauer tại đây và câu trả lời của anh ấy cho một câu hỏi liên quan để biết một số ví dụ. Chủ đề thứ hai có câu trả lời khác đáng đọc.

Trong một phép tính đánh máy, để nói rằng các loại là tập hợp trên thực tế là đưa ra một ngữ nghĩa cho các loại. Đưa ra một phép tính một ngữ nghĩa lý thuyết loại không phải là chuyện nhỏ. Ví dụ: giả sử bạn đang xác định ngôn ngữ có chức năng. Tập hợp nào là một loại hàm? Tổng số hàm được xác định bằng biểu đồ của chúng, như chúng ta đã được dạy trong lý thuyết tập 101. Nhưng còn các hàm một phần thì sao? Bạn có muốn cung cấp cho tất cả các chức năng không kết thúc cùng một ngữ nghĩa? Bạn không thể diễn giải các loại dưới dạng tập hợp cho một phép tính cho phép các hàm đệ quy cho đến khi bạn trả lời câu hỏi đó. Đưa ra các ngôn ngữ lập trình hoặc tính toán một ngữ nghĩa học biểu thị là một vấn đề khó khăn vào đầu những năm 1970. Các giấy tinh ở đây là Hướng tới một ngữ nghĩa toán học cho các ngôn ngữ máy tính (1971) bởiDana Scott và Christopher Strachey . Các wikibook Haskell có một bài thuyết trình tốt về chủ đề này.

Như tôi đã viết ở trên, phần thứ hai của câu trả lời là ngay cả khi bạn đã quản lý để đưa ra các kiểu ngữ nghĩa lý thuyết tập hợp, thì thứ bên trái của dấu hai chấm không phải luôn luôn là một yếu tố của tập hợp. Các giá trị có các loại, nhưng các thứ khác cũng vậy, chẳng hạn như biểu thức và biến . Ví dụ: một biểu thức trong ngôn ngữ lập trình được gõ có một kiểu ngay cả khi nó không kết thúc. Bạn có thể sẵn sàng conflate integervà $\mathbb{Z}$ , nhưng (x := 0; while true; do x := x + 1; x)không phải là một phần tử của $\mathbb{Z}$ .

Tôi không biết khi ký hiệu đại tràng phát sinh cho các loại. Bây giờ nó là tiêu chuẩn về ngữ nghĩa và phổ biến trong các ngôn ngữ lập trình, nhưng cả Russel và Church đều không sử dụng nó. Algol đã không sử dụng nó, nhưng ngôn ngữ lấy cảm hứng từ Algol mà Pascal đã làm vào năm 1971. Tuy nhiên, tôi nghi ngờ đó không phải là ngôn ngữ đầu tiên, bởi vì nhiều tài liệu lý thuyết từ đầu những năm 1970 sử dụng ký hiệu, nhưng tôi không biết về sử dụng sớm hơn. Thật thú vị, điều này đã sớm xảy ra sau khi các khái niệm về các loại từ lập trình và từ logic đã được thống nhất - như Simon Martini thể hiện trong Một số loại hình trong ngôn ngữ lập trình , cái được gọi là một loại hình trong ngôn ngữ lập trình cho đến những năm 1960 đến từ tiếng bản địa sử dụng từ và không từ lý thuyết loại.

Lý do chính để thích ký hiệu dấu hai chấm $t : T$ cho mối quan hệ thành viên $t \in T$ là mối quan hệ thành viên có thể gây hiểu nhầm vì các loại không phải là (chỉ) các bộ sưu tập .

[ Bổ sung: Tôi nên lưu ý rằng về mặt lịch sử gõ thuyết được viết bằng $\in$ . Quan niệm về loại Martin-LOF đã được có nghĩa là để tập chụp tinh thần xây dựng, và đã Russell và Whitehead dùng $\epsilon$ cho memebrship lớp. Nó sẽ là thú vị để theo dõi thời điểm hiện tại khi $:$ ngày càng trở nên phổ biến hơn $\in$ ].

Một loại mô tả một loại xây dựng nhất định, nghĩa là làm thế nào để tạo ra các vật thể có cấu trúc nhất định, cách sử dụng chúng và phương trình nào nắm giữ chúng.

Ví dụ một loại sản phẩm $A \times B$ có quy định giới thiệu để giải thích làm thế nào để làm cho cặp có thứ tự, và các quy tắc loại bỏ giải thích rằng chúng tôi có thể trình chiếu đầu tiên và các thành phần thứ hai từ bất kỳ yếu tố của $A \times B$ . Định nghĩa của $A \times B$ không không bắt đầu với dòng chữ "bộ sưu tập của tất cả ..." và cũng như thế nó nói bất cứ nơi nào bất cứ điều gì như "tất cả các yếu tố của $A \times B$ là cặp" (nhưng nó sau từ định nghĩa rằng tất cả các yếu tố của $A \times B$ được đề xuấtbằng một cặp). Tóm lại, định nghĩa lý thuyết tập hợp của $X \times Y$ được nêu là "tập hợp của tất cả các cặp theo thứ tự ...".

Các ký hiệu $t : T$ nghĩa thực tế là $t$ có cấu trúc được mô tả bởi $T$ .

Một loại $T$ không phải là để bị nhầm lẫn với nó mở rộng , đó là bộ sưu tập của tất cả các đối tượng của loại $T$ . Một loại không được xác định bởi phần mở rộng của nó, giống như một nhóm không được xác định bởi bộ sóng mang của nó. Hơn nữa, có thể xảy ra rằng hai loại có cùng một phần mở rộng, nhưng khác nhau, chẳng hạn:

1. Các loại tất cả, ngay cả các số nguyên tố lớn hơn hai: $\Sigma (n : \mathbb{N}) . \mathtt{isprime}(n) \times \mathtt{iseven}(n) \times (n > 2)$ .
2. Các loại tất cả các số nguyên tố lẻ nhỏ hơn hai: $\Sigma (n : \mathbb{N}) . \mathtt{isprime}(n) \times \mathtt{isodd}(n) \times (n < 2)$ .

Phần mở rộng của cả hai đều trống, nhưng chúng không cùng loại.

Có sự khác biệt nữa giữa các loại lý thuyết $:$ và các thiết lập lý thuyết $\in$ . Một đối tượng $a$ trong lý thuyết tập hợp tồn tại độc lập với những gì đặt nó thuộc về, và nó có thể thuộc về một số bộ. Ngược lại, hầu hết các lý thuyết loại đáp ứng độc đáo của gõ: nếu $t : T$ và $t : U$ sau đó $T \equiv U$ . Hay nói cách khác, một cấu trúc theo lý thuyết loại $t$ có chính xác một loại $T$ và trên thực tế không có cách nào để chỉ có một đối tượng $t$ mà không có loại (xác định duy nhất).

Khác biệt nữa là trong lý thuyết tập hợp chúng ta có thể phủ nhận một thực tế rằng $a \in A$ bằng cách viết $\lnot (a \in A)$ hoặc $a \not\in A$ . Điều này là không thể trong lý thuyết loại, bởi vì $t : T$ là một phán đoán có thể được suy ra bằng cách sử dụng các quy tắc của lý thuyết loại, nhưng không có gì trong lý thuyết loại cho phép chúng ta nói rằng một cái gì đó không được dẫn xuất. Khi một đứa trẻ làm một cái gì đó từ các khối LEGO, chúng tự hào chạy đến bố mẹ để cho chúng xem công trình, nhưng chúng không bao giờ chạy đến bố mẹ để cho chúng xem những gì chúng không làm.

Bjorn,

Có lẽ có một tài liệu tham khảo trước đó nhưng vì một điều, dấu hai chấm được sử dụng trong ngôn ngữ lập trình Pascal: