Kiểm tra / Xác định phân loại tô pô

Bạn đang đưa ra một tập hợp các Đạo mạch hở đồ thị trên cùng một bộ đỉnh . Bạn cũng được cung cấp một hoán vị của tập hợp các đỉnh . Thuật toán tốt nhất có thể xác định các biểu đồ trong số có là một loại cấu trúc liên kết là gì? Ai đó có thể kiểm tra xem có phải là một loại cấu trúc liên kết của DAG trên trong thời gian tuyến tính không? $n$$G_1, G_2, ..., G_n$$m$$V$$(v_1,v_2,...,v_m)$$G_1, G_2, ..., G_n$$(v_1,v_2,...,v_m)$$(v_1,v_2,...,v_m)$$G$$V$

Điều này có thể được thực hiện trong thời gian gần như tuyến tính.

Đặt hoán vị là và đặt là số bước cần thiết để kiểm tra một cạnh so với . Sau đó, đủ để kiểm tra xem mỗi cạnh của có tương thích với , có thể được thực hiện trong thời gian hoặc .$\pi = (v_1,\dots,v_m)$$k = k(\pi)$$(u,v)$$\pi$$M_i$$G_i$$\pi$$O(kM_i)$$O(k\sum M_i)$

Bằng cách tiền xử lý người ta có thể giảm xuống còn hai lần tra cứu trong một mảng chứa mục nhập mỗi kích thước và so sánh giữa hai mục trong mảng; phần tử mảng chứa chỉ mục của trong được coi là danh sách có thứ tự. Điều này có nghĩa là tổng thời gian mang lại cho giới hạn trên.$\pi$$k$$m$$\log\, m$$(\log\ m)$$a[w]$$w$$\pi$$k = O(\log\, m)$$O((\log\, m)\sum M_i)$

Như @mjqxxxx chỉ ra, mọi cạnh của mọi đồ thị đều có thể liên quan. Điều này tạo ra giới hạn thấp hơn của các bước , trong đó là số lượng công việc ít nhất cần phải thực hiện cho mỗi cạnh của biểu đồ; có thể một số phương pháp có thể khấu hao chi phí sao cho . Đây vẫn sẽ là , vì vậy không còn nhiều khoảng trống.$\Omega(K\sum M_i)$$K$$K = o(\log\, m)$$\Omega(\sum M_i)$

Phương pháp tầm thường:

GS = {G1,G2...G3}
for v in (v1,v2,...vm)
      remove all graphs from GS where indegree(v) != 0
      remove v and attached edges from remaining GS

Nó không nhanh như bạn muốn. Nhưng nó giải quyết được một vấn đề là "có thể có nhiều thứ tự tôpô hợp lệ của DAG". Và tìm tất cả chúng không phải là một ý tưởng tốt.