Đồ thị phẳng 3 màu trong

Tôi đã tự hỏi nếu nhiệm vụ tìm kiếm 3 màu phẳng được biết là phức tạp hay thấp hơn? Cảm giác này giống như là một hệ quả trực quan dựa trên các kết quả phân tách phẳng, nhưng trong wikipedia , nó chỉ đề cập đến các tập độc lập, cây Steiner, chu trình Hamilton và TSP. Dưới đây tôi bao gồm một số lý do mà tôi nghĩ gần như đạt được ràng buộc này.$O\left(c^{\sqrt{n}}\right)$

Với sơ đồ quyết định giảm không, (ZDD), tôi tin rằng bạn có thể nhận được và tôi tò mò làm thế nào tôi có thể làm tốt hơn. Những gì tôi nghĩ ra là khá thô sơ. Lưu ý: trong suốt, ZDD tôi mô tả là tạm thời, nhưng tôi không nghĩ đó là vấn đề lớn. Đối với ZDD, được đặt hàng, , của các đỉnh có màu, số lượng nút ở bước sẽ theo cấp số nhân đối với kích thước biên giới, .$O\left(c^{O(log_2(n)\sqrt{n})}\right)$$L = \{v_1 \dots v_n\}$$i$$F_i = \{v_k | k < i \land v_k~v_j, j \geq i \}$

Để tạo thứ tự của bạn , bạn có thể tạo một cây phân rã nhánh tối ưu, , trong thời gian đa thức, có chiều rộng tối đa . Sau đó, chọn một lá ngẫu nhiên của để làm gốc của bạn. Với BFS, cân mỗi cạnh theo số lượng lá không được kết nối với nếu bạn muốn loại bỏ khỏi . Sau đó, thực hiện một DFS để cuối cùng tạo , luôn đi xuống cạnh xa nhất từ , chọn cái có trọng lượng nhỏ nhất nếu có cà vạt và chọn tùy ý nếu vẫn còn cà vạt. Khi chúng ta đạt đến một chiếc lá, thêm$L$$b$$\sqrt{n}$$v’$$b$$e$$v’$$e$$b$$L$$v’$$(u,v)$$u$/ để nếu một trong hai không có trong . Hãy là thành phần gây ra trong bởi các đỉnh đến thăm khi chúng tôi đã thêm để . Sau đó, được giới hạn bởi chiều rộng chi nhánh nhân với số cạnh cần được xóa khỏi để lấy thành phần . được giới hạn bởi của các đỉnh trong , là tuyến tính với vì chúng ta đang xử lý các đồ thị phẳng.$v$$L$$L$$c_i$$b$$v_i$$L$$F_i$$x_i$$b$$c_i$$x$$log_2$$b$$n$

Cùng với đó, bạn kiểm tra tất cả ba màu cho mỗi nút cho mỗi biên giới và bạn đã hoàn tất.$n$

Tôi khuyên bạn nên đọc Phần 7 và 14 trong cuốn sách xuất sắc của Cygan, Fomin, Kowalik, Lokshtanov, Marx, Pilipczuk, Pilipczuk và Saurabh .

Nói tóm lại, Gu và Tamaki cho một thuật toán thời gian bậc hai mà tìm thấy một ngành phân hủy của một đồ thị phẳng có chiều rộng tối đa là $3\sqrt{n}$ . Sau đóRobertson và Seymourtrong (5.1) cung cấp cho một cây phân hủy của chiều rộng ít hơn$\frac{9\sqrt{n}}{2}$ . Sau đó, thuật toán lập trình năng động cổ điển (xem, ví dụ như,Marx) giải quyết$3$-Coloring trong thời gian$3^{\frac{9\sqrt{n}}{2}}\textrm{poly}(n)<141^{\sqrt{n}}$ .

Mặt khác, nó được biết đến ( Lichtenstein ) mà dưới Exponential Time Giả thuyết (ETH), các Planar $3$ vấn đề -SAT là $2^{\Omega(\sqrt{n})}$-hard. Và giảm từ Planar$3$-SAT để Planar$3$-Coloring ngụ ý rằng dưới ETH không có thuật toán giải quyết Planar$3$-Coloring trong thời gian$2^{o(\sqrt{n})}$.