Một vấn đề tự nhiên trong lý thuyết tính toán là gì?

Trong bài viết của Stephen Cook về vấn đề P vs NP, [1] ông nói như sau [2]:

Luận án khả thi: Một vấn đề tự nhiên có thuật toán khả thi nếu nó có thuật toán thời gian đa thức.

Câu hỏi của tôi là, chính xác thì anh ta (hoặc nói chung thực sự, một người) nghĩa là gì bởi "một vấn đề tự nhiên "? Nói về các vấn đề là tự nhiên dường như là đủ phổ biến, nhưng tôi vẫn chưa tìm thấy một định nghĩa. Tôi dường như đang thiếu một cái gì đó. Dưới đây là một vài câu trả lời có thể tôi đang nghĩ về:

Câu trả lời đầu tiên có thể

Cook nói trong bài báo của mình rằng "tự nhiên" phải được giải thích. Ông nói, "nói chung, chúng tôi không coi một lớp có tham số là tự nhiên, chẳng hạn như tập hợp các biểu đồ có thể nhúng trên bề mặt của chi k , k > 1." [3] Bây giờ, trước hết, điều này dường như nói lên điều gì " tự nhiên "không phải là hơn những gì nó là; nhưng nếu mọi vấn đề là tự nhiên hoặc không và điều này mô tả đầy đủ tất cả các vấn đề không tự nhiên, thì điều này sẽ đủ để xác định tự nhiên. (Nhưng vòng loại "nói chung" cho thấy rằng đây không phải là một mô tả đầy đủ và cần thiết về các vấn đề không tự nhiên.)

Tôi nghĩ rằng "các lớp với các tham số" đề cập đến khả năng biến đổi tham số cố định, theo đó chúng tôi có nghĩa là các vấn đề có thể bị hạn chế đầu vào sao cho tính khả thi bị ép buộc. Vì vậy, chúng ta có thể giải quyết vấn đề về chiếc ba lô [4] bằng thuật toán thời gian đa thức nếu chúng ta sửa được trọng lượng mà chiếc ba lô có thể mang theo (nhưng nói chung không có giải pháp nào trong thời gian đa thức). Với điều này trong tay, tôi cho rằng nó là "tự nhiên" có nghĩa là vấn đề không bị hạn chế ("giả tạo" bị hạn chế?) Theo cách buộc một thuật toán thời gian đa thức ra khỏi một vấn đề không thể giải quyết được trong thời gian đa thức.

Lý do tôi không chắc chắn đây là cách đúng để hiểu khái niệm "tự nhiên" của Cook là vì tôi không hoàn toàn chắc chắn rằng phẩm chất "tự nhiên" đang làm gì ở đây. Nếu bạn bỏ "tự nhiên", thì bạn nhận được "một vấn đề có thuật toán khả thi nếu nó có thuật toán thời gian đa thức". Nhưng điều này có vẻ hoàn toàn hợp lý: vấn đề về chiếc ba lô không có thuật toán khả thi vì nó không có thuật toán thời gian đa thức; knapsack-with-fixed-paramater-seamability có một thuật toán khả thi vì nó có thuật toán đa thức thời gian. Cả hai tài khoản dường như phù hợp với khái niệm vấn đề với thuật toán khả thi là gì.

Tôi nghĩ rằng đây có thể là hướng dẫn tốt nhất để hiểu ý nghĩa của Cook, bởi vì Cook thực sự quay lại và định nghĩa nó. Tôi cũng cho rằng khái niệm tự nhiên này được nắm bắt bởi câu hỏi StackExchange này. [5}

Nhưng có một cái khác.

Câu trả lời có thể có thứ hai

William Gasarch trong bài viết "Phân loại các vấn đề thành các lớp phức tạp" [6], nói rằng ông sẽ tiến hành "một cuộc thảo luận theo nghĩa đen là một vấn đề tự nhiên" [7]. Ở phần cuối của bài báo, [8] có một cuộc trao đổi dưới dạng đối thoại, trong đó một người nói:

"Điều gì làm cho vấn đề trở nên tự nhiên? Một mặt, tôi đã không xây dựng vấn đề cho mục đích duy nhất là không ở P. Vì vậy, đó không phải là vấn đề ngu ngốc. Sau đó, nó có tăng đến mức tự nhiên không?"

Vì vậy, dường như điều mà Gasarch đang nói là nếu chúng ta gặp vấn đề không được xây dựng có chủ ý để chúng ta có thể nói rằng nó không nằm trong P, thì đó là điều tự nhiên. Vì vậy, với một chút giải thích sáng tạo, có vẻ như Gasarch đang nói điều gì đó ít nhất phù hợp với Cook: một mặt, Gasarch nói rằng việc không được xây dựng với mục tiêu duy nhất không có trong P khiến vấn đề không tự nhiên; và mặt khác, Cook nói rằng một vấn đề là tự nhiên nếu nó không có tham số. Nhưng sự nhất quán đơn thuần không mang lại một định nghĩa.

Câu trả lời có thể có thứ ba

Trên mục Wikipedia cho một "vấn đề được đặt ra" [9], một định nghĩa về khái niệm vấn đề được đặt ra của Jacques Hadamard được đưa ra, sau đó nói rằng một vấn đề được đặt ra "có thể được coi là vấn đề 'tự nhiên' trong đó có các quá trình vật lý được mô hình hóa bởi những vấn đề này. " Vì vậy, một vấn đề là tự nhiên nếu và chỉ khi nó mô hình hóa một quá trình vật lý?

Bằng cấp của Hadamard, theo Wikipedia, là (i) một giải pháp tồn tại, (ii) giải pháp là duy nhất và (iii) hành vi của giải pháp thay đổi liên tục với các điều kiện ban đầu. Điều này dường như khác với hai định nghĩa khác. Ý thức của tôi là "tự nhiên" không được sử dụng theo cùng một cách (đặc biệt là nếu chúng tôi đồng ý với cách giải thích rằng một vấn đề là tự nhiên nếu và chỉ khi nó mô hình hóa một quá trình vật lý), nhưng tôi muốn đưa nó vào vì tôi gặp phải nó trong nghiên cứu của tôi về câu hỏi này, và có những điểm liên hệ.

Vì vậy, câu hỏi của tôi là: một vấn đề tự nhiên là gì? Có bất kỳ câu trả lời nào, hoặc một số kết hợp của chúng, đúng không? Có một số câu trả lời khác mà tôi đang thiếu? Cảm ơn bạn.

1. "Tuyên bố về vấn đề", 2006, được đăng trực tuyến tại Clay Toán học; tiêu đề: "Vấn đề P vs NP", http://www.claymath.org/sites/default/files/pvsnp.pdf
2. tr. 3
3. tr. 4
4. https://en.wikipedia.org/wiki/Knapsack_probols#0.2F1_Knapsack_Pro Hiệu
5. Vấn đề tự nhiên khó biết nhất trong P? Tôi cho rằng một vấn đề tự nhiên tuân theo mô tả này nhưng không hạn chế k là lớn nhất.
6. https://www.cs.umd.edu/~gasarch/ con / classcomp.pdf
7. tr. 2.
8. tr. 47-8, phần 25
9. https://en.wikipedia.org/wiki/Well-posed_propet

Để rõ ràng, nó không có nghĩa là chính thức. Đây không phải là một định lý, đó là một quan sát về thế giới - không sao nếu "tự nhiên" là chủ quan ở đây. Tương tự, nếu ai đó nói "sự khác biệt là cơ học trong khi hội nhập là nghệ thuật", họ sẽ không mời bạn chính thức hóa "cơ học" và "nghệ thuật" và chứng minh tuyên bố, họ đang cố gắng truyền đạt một quan điểm chung. Vì vậy, bạn có thể thiếu rừng một chút cho các cây ở đây. [Chú thích]

Quan điểm của tác giả là gì

Hãy làm theo gợi ý của bạn và bỏ từ "tự nhiên":

Luận văn khả thi (bản thảo đầu tiên): Một vấn đề có thuật toán khả thi nếu nó có thuật toán đa thức thời gian.

$n^{1000}$$n^{1000}$

Vì vậy, tác giả cảm thấy luận án vẫn còn khá chính xác liên quan đến các vấn đề chúng ta thực sự muốn giải quyết trong thế giới thực và các vấn đề khác gặp phải "một cách tự nhiên" trong cuộc sống lý thuyết không phức tạp. Vì vậy, ông nghĩ rằng, hãy gọi những vấn đề đó là "tự nhiên" và sửa đổi luận điểm khả thi.

Điều gì là không tự nhiên

Chắc chắn, một vấn đề phát sinh phổ biến trong thực tế sẽ được coi là tự nhiên: đường dẫn ngắn nhất, sắp xếp, chỉnh sửa khoảng cách, tìm kiếm gốc, nhân viên bán hàng du lịch, ba lô.

Chắc chắn, một vấn đề được nghĩ ra và được xác định cụ thể để chứng minh một kết quả phức tạp và tham chiếu lớp cụ thể, không phải là tự nhiên. Ví dụ: "chuỗi này có thể được tạo bởi máy Turing trên k trạng thái trong thời gian n".

Một số điều chưa rõ ràng, như có thể lập trình tuyến tính, nhưng tôi sẽ không lo lắng quá nhiều về nó. Nghiên cứu nhiều thuật toán và các vấn đề phức tạp và xem bạn có đồng ý với ý tưởng chung hay không, nếu bạn tìm thấy các ví dụ mà bạn cho là mâu thuẫn với nó.

(Trong mọi trường hợp tôi nghĩ rằng tuyến đường "vấn đề đặt ra" chắc chắn là sai theo cách này, như bạn nghi ngờ.)

[chú thích] Tôi không có ý ngăn cản bạn cố gắng chính thức hóa nó, chỉ vì nghĩ rằng bạn có ý định.

Nó đại khái nắm rõ liệu định nghĩa vấn đề có thể là thông tư hay không:

• Một vấn đề nhân tạo là một vấn đề được xây dựng để đáp ứng các tiêu chí của lớp.

• Một vấn đề tự nhiên không dựa vào phương pháp xây dựng của nó để lấp đầy các tiêu chí của lớp.

Xây dựng của Ladner được biết là NP-trung gian , với điều kiện NPI tồn tại.

$P \subsetneq NP$

Chú ý: Chúc may mắn khi chứng minh một ứng cử viên như vậy; Điều này có vẻ như là một cách tiếp cận dễ tiếp cận nhưng tự nhiên đã phát triển một số rào cản về bằng chứng .