Các ứng dụng của cấu trúc số liệu trên posets / mạng trong lý thuyếtCS

17

Vì thuật ngữ này là quá tải, nên một định nghĩa ngắn gọn đầu tiên. Một poset là một tập ban cho một thứ tự một phần . Cho hai phần tử , chúng ta có thể định nghĩa (tham gia) là giới hạn trên nhỏ nhất của chúng trong và tương tự xác định (đáp ứng) (tham gia) là giới hạn dưới lớn nhất. $X$ $\le$ $a,b \in X$ $x \vee y$ $X$ $x \wedge y$

Một mạng là một poset trong đó bất kỳ hai yếu tố có một cuộc gặp gỡ duy nhất và một sự tham gia duy nhất.

Các mạng (trong hình thức này) xuất hiện trong lý thuyếtCS trong (một cách ngắn gọn) lý thuyết về tính chất con (với mạng con) và phân cụm (mạng phân vùng), cũng như trong lý thuyết miền (mà tôi không hiểu quá rõ) và tĩnh phân tích.

Nhưng tôi quan tâm đến các ứng dụng sử dụng cấu trúc số liệu trên mạng. Một ví dụ đơn giản đến từ clustering, nơi bất kỳ antimonotone submodular chức năng (phương tiện antimonotone rằng nếu ) gây ra một số liệu $f : X \rightarrow R$ $x \le y, f(x) \le f(y)$

d (x, y) = 2 f (x \land y) - f (x) - f (y)

$d(x,y) = 2f(x \wedge y) - f(x) - f(y)$

Số liệu này đã được sử dụng rộng rãi như một cách để so sánh hai cụm dữ liệu khác nhau.

Có các ứng dụng khác của mạng quan tâm đến cấu trúc số liệu không? Tôi đã quan tâm đến lý thuyết miền / ứng dụng phân tích tĩnh, nhưng cho đến nay tôi chưa thấy bất kỳ nhu cầu nào về số liệu .

— Suresh Venkat
nguồn

12

Đầu tiên, một nhận xét. Loại câu hỏi của bạn phụ thuộc vào cách bạn dự định về mặt hình học có nghĩa là từ "số liệu". Một cách hợp lý là sử dụng siêu ma trận trong ngữ nghĩa và phân tích tĩnh, nhưng siêu âm có xu hướng có tổ hợp hơn là giải thích hình học. (Đây là một biến thể của quan sát rằng lý thuyết miền có hương vị của tổ hợp thay vì sử dụng cấu trúc liên kết hình học.)

Điều đó nói rằng, tôi sẽ cho bạn một ví dụ về cách điều này xuất hiện trong các bằng chứng chương trình. Đầu tiên, hãy nhớ lại rằng trong một bằng chứng chương trình, chúng tôi muốn chỉ ra rằng một công thức mô tả một chương trình được giữ vững. Nói chung, công thức này không nhất thiết phải được giải thích với các booleans, nhưng có thể được rút ra từ các yếu tố của một số mạng của các giá trị chân lý. Sau đó, một công thức thực sự chỉ là một công thức bằng với đỉnh của mạng.

Hơn nữa, khi chỉ định các chương trình rất tự giới thiệu (ví dụ: các chương trình sử dụng rộng rãi mã tự sửa đổi) có thể rất khó khăn. Chúng tôi thường muốn đưa ra một đặc tả đệ quy của chương trình, nhưng có thể không có cấu trúc quy nạp rõ ràng để treo định nghĩa. Để giải quyết vấn đề này, thường rất hữu ích khi trang bị mạng giá trị thật với cấu trúc số liệu bổ sung. Sau đó, nếu bạn có thể chỉ ra rằng vị từ có điểm cố định mà bạn muốn hoàn toàn hợp đồng, bạn có thể kháng cáo định lý điểm cố định của Banach để kết luận rằng vị từ đệ quy bạn muốn được xác định rõ.

$\Omega$ $\mathbb{N}$ $2^{-n}$ $n$

$p : \Omega \to \Omega$ $n+1$ $n$ $\top = \mathbb{N}$

— Neel Krishnaswami
nguồn

ah thú vị Trả lời câu hỏi của bạn, tất cả những gì tôi quan tâm là số liệu chỉ là: nó thỏa mãn bất đẳng thức tam giác. Vì vậy, siêu âm là hoàn toàn tốt. Tuy nhiên, (và đây là thiếu sót của tôi trong câu hỏi) đối với tôi, dường như việc sử dụng số liệu ở đây mang tính cấu trúc, để có thể truy cập vào Banach. Bạn không quan tâm đến số liệu trong một số liệu của chính nó (và vì vậy những thứ như xấp xỉ số liệu hoặc tính toán nó không liên quan). Có đúng không ?

— Suresh Venkat

4

Có, chúng tôi không có xu hướng quan tâm nhiều đến số liệu. Đây thực sự là một nguồn gây khó chịu với các mô hình số liệu hoặc chỉ số bước - tại sao chúng tôi theo dõi thông tin mà chúng tôi không thực sự quan tâm? Cho thấy một mô hình ổn định theo một lớp gần đúng với số liệu (có lẽ bảo thủ đối với tính hợp đồng) sẽ thực sự làm tăng sự thoải mái với nó.

— Neel Krishnaswami

9

Thay thế cho các CPO được sử dụng phổ biến hơn, Arnold và Nivat đã khám phá (hoàn thành) các không gian số liệu dưới dạng các miền của ngữ nghĩa học biểu thị [1]. Trong luận án của mình, Bonsangue [2] đã tìm hiểu tính đối ngẫu giữa ngữ nghĩa học hàm ý và ngữ nghĩa học tiên đề đó. Tôi đề cập đến nó ở đây bởi vì nó cho một bức tranh tổng thể rất toàn diện.

[1]: Một Arnold, M Nivat: Giải thích số liệu về cây vô hạn và ngữ nghĩa của các chương trình đệ quy không xác định. Lý thuyết. Tính toán. Khoa học. 11: 181-205 (1980).
[2]: Tính đối ngẫu tôpô MM Bonsangue trong ngữ nghĩa tập 8 của ENTCS, Elsevier 1998.

— Kai
nguồn

Tuyệt vời - Tôi không biết luận án này là trực tuyến!

— Neel Krishnaswami

3

Tôi cho Marcello (Bonsangue) biết rằng anh ta đang được nói đến. (Có lẽ anh ấy sẽ tham gia.)

— Dave Clarke

5

Đây là một (từ, ngẫu nhiên, đầu hàng đợi đọc của tôi):

Swarat Chaudhuri, Sumit Gulwani và Roberto Lublinerman. Phân tích liên tục các chương trình. POPL 2010.

Các tác giả đưa ra một ngữ nghĩa biểu thị cho một ngôn ngữ bắt buộc với các vòng lặp đơn giản, diễn giải các biểu thức dưới dạng các hàm từ các giá trị trong một không gian số liệu sản phẩm cơ bản. Vấn đề là xác định chương trình nào đại diện cho các chức năng liên tục, ngay cả khi có "nếu" và các vòng lặp. Họ thậm chí cho phép các câu hỏi về tính liên tục bị hạn chế ở một số đầu vào và đầu ra nhất định. (Điều này rất quan trọng để phân tích thuật toán của Dijkstra, liên tục theo chiều dài đường dẫn của nó, nhưng không phải trong đường dẫn thực tế.)

Tôi chưa thấy bất cứ điều gì đòi hỏi một không gian số liệu - có vẻ như nó có thể được thực hiện bằng cách sử dụng cấu trúc liên kết chung cho đến nay - nhưng tôi chỉ ở trang 3. :)

— Neil Toronto
nguồn

1

tất nhiên không có câu hỏi hay mạng nào ở đây, như trong câu trả lời trước. đó là những gì tôi đang thiếu.

— Suresh Venkat

3

Xin lỗi vì đã thêm một câu trả lời khác, nhưng câu trả lời này không liên quan đến câu trả lời khác của tôi ở trên.

Một không gian số liệu tôi thường xuyên sử dụng để gây khó chịu (hoặc là giáo dục?) Học sinh đồng thời là dấu vết vô hạn. Các topo nó gây ra là chính xác một Alpern và Schneider [1] được sử dụng để mô tả sự an toàn và liveness tài sản như hạn kín và dày đặc, tương ứng.

\begin{array}{rcl} d : Σ^{ω} \times Σ^{ω} & ⟶ & R_{\geq 0} \\ (σ, τ) & \mapsto & 2^{- sup {i \in N | σ |_{i} = τ |_{i}}} \end{array}

$\begin{array}{@{}rcl} d : \Sigma^\omega\times\Sigma^\omega & \longrightarrow & \mathbb{R}_{{}\ge 0}\\ % (\sigma,\tau) & \mapsto & 2^{-\sup \{~i\in\mathbb{N} ~|~ \sigma|_i = \tau|_i~\}} \end{array}$

σ |_{i}

$\sigma|_i$

σ

$\sigma$

i

$i$

2^{- \infty} = 0

$2^{-\infty} = 0$

Nhìn lại, tôi nhận ra rằng câu trả lời này cũng thiếu thành phần thiết yếu của cấu trúc mạng tinh thể hoặc cấu trúc. Một cấu trúc mạng tinh thể như vậy là tuy nhiên hiện tại khi di chuyển hơn một mức so với những gì Clarkson và Schneider gọi hyperproperties [2]. Tại thời điểm viết, tôi không rõ làm thế nào để nâng số liệu mặc dù.

[1] B Alpern và FB Schneider. Xác định sự sống. IPL, 21 (4): 181 Từ185, 1985.
[2] MR Clarkson và FB Schneider. Tăng sản. CSF, p51-65, IEEE, 2008.

— Kai
nguồn

Ở đây chúng ta có thể gõ vào LaTeX giống như chúng ta thường làm - dấu hiệu đặt đôla quanh \ sum_ {k = 1} ^ nk = \ frac {k (k + 1)} {2} và chúng tôi sẽ nhận được

\sum_{k = 1}^{n} k = n (n + 1) / 2

$\sum_{k=1}^n k = {n(n+1)}/{2}$

@HCH cảm ơn, tôi đã chỉnh sửa bài đăng của mình cho phù hợp và loại bỏ tiếng kêu trắng trợn để được tư vấn định dạng.

— Kai

Công thức tốt đẹp!

— Hsien-Chih Chang 張顯