Các họ đồ thị có thuật toán thời gian đa thức để tính toán số màu

Bài đăng được cập nhật vào ngày 31 tháng 8 : Tôi đã thêm một bản tóm tắt các câu trả lời hiện tại bên dưới câu hỏi ban đầu. Cảm ơn tất cả các câu trả lời thú vị! Tất nhiên, tất cả mọi người có thể tiếp tục đăng bất kỳ phát hiện mới.

Đối với những họ đồ thị nào tồn tại thuật toán thời gian đa thức để tính toán số màu sắc ?$\chi(G)$

Vấn đề có thể giải quyết được trong thời gian đa thức khi (đồ thị lưỡng cực). Nói chung khi , tính toán số màu là NP-hard, nhưng có nhiều họ đồ thị trong trường hợp này không phải là trường hợp. Ví dụ, chu kỳ tô màu và đồ thị hoàn hảo có thể được thực hiện trong thời gian đa thức.χ ( G ) ≥ $\chi(G) = 2$$\chi(G) \ge 3$

Ngoài ra, đối với nhiều lớp biểu đồ, chúng ta có thể đánh giá đơn giản đa thức màu tương ứng; một số ví dụ trong Mathworld .

Tôi cho rằng hầu hết những điều trên là kiến ​​thức phổ biến. Tôi sẵn sàng tìm hiểu xem có bất kỳ họ đồ thị (không tầm thường) nào khác mà màu đồ thị tối thiểu có thể giải quyết được trong thời gian đa thức.

Cụ thể, tôi quan tâm đến các thuật toán chính xác và xác định nhưng cảm thấy thoải mái khi chỉ ra bất kỳ thuật toán ngẫu nhiên thú vị hoặc thuật toán gần đúng nào.

Cập nhật (ngày 31 tháng 8):

Cảm ơn tất cả mọi người đã gửi câu trả lời thú vị. Đây là một bản tóm tắt ngắn của các câu trả lời và tài liệu tham khảo.

Đồ thị hoàn hảo và gần như hoàn hảo

• Thuật toán hình học và tối ưu hóa kết hợp (1988), Chương 9 (Bộ ổn định trong biểu đồ). Martin Grotschel, Laszlo Lovasz, Alexander Schrijver.

  Chương 9 của cuốn sách cho thấy làm thế nào để giải quyết vấn đề tô màu thông qua vấn đề bao trùm trọng số tối thiểu. Vì chúng dựa vào phương pháp ellipsoid, các thuật toán này có thể không hữu ích trong thực tế. Ngoài ra, chương này có một danh sách tham khảo tốt đẹp cho các lớp khác nhau của đồ thị hoàn hảo.

• Tối ưu hóa kết hợp (2003), Tập B, Phần VI Alexander Schrijver.

  Cuốn sách này có ba chương dành cho đồ thị hoàn hảo và tính thời gian đa thức của chúng. Tôi chỉ xem nhanh nhưng cách tiếp cận cơ bản có vẻ giống như trong cuốn sách trước.

• Một đặc tính của đồ thị b-perfect (2010). Chinh T. Hoàng, Frédéric Maffray, Meriem Mechebbek

Đồ thị có chiều rộng cây hoặc chiều rộng giới hạn

• Cạnh thống trị tập hợp và tô màu trên đồ thị với chiều rộng cố định (2001). Daniel Kobler, Udi Rotics

  Các thuật toán ở đây yêu cầu một biểu thức k (một công thức đại số để xây dựng một biểu đồ với độ rộng clique-width) làm tham số. Đối với một số đồ thị, biểu thức này có thể được tính theo thời gian tuyến tính.

• Yaroslav chỉ ra trong các phương pháp để đếm màu trong đồ thị chiều rộng cây giới hạn. Xem câu trả lời của anh ấy dưới đây.

Hai họ đồ thị nghiên cứu trong đó đỉnh hoặc cạnh có thể được thêm hoặc xóa.$k$

• Độ phức tạp tham số của màu đỉnh (2003). Leizhen Cai.

  Màu sắc có thể được giải quyết trong thời gian đa thức khi thêm hoặc xóa các cạnh (đối với cố định ) trong các biểu đồ phân chia .$k$$k$

• Các vấn đề tô màu được tham số hóa trên các biểu đồ hợp âm (2006). Dániel Marx.

  Đối với cố định , đồ thị hợp âm mà k cạnh được thêm vào, có thể được tô màu trong thời gian đa thức.$k$$k$

Đồ thị không chứa đồ thị con cụ thể

• Quyết định k-Colorability của đồ thị không có P5 trong thời gian đa thức (2010). Gia T. Hoàng, Marcin Kamínski, Vadim Lozin, Joe Sawada, Xiao Shu.

• Đồ thị 3 màu AT trong thời gian đa thức (2010). Juraj Stacho.

Tô màu tứ giác

• Các thuật toán để tô màu tứ giác (1999). David Eppstein, Marshall W. Bern, Brad Hutchings.

Khi bạn quan sát, tất cả các đồ thị hoàn hảo có thể được tô màu theo thời gian đa thức, nhưng tôi nghĩ bằng chứng liên quan đến thuật toán ellipsoid cho lập trình tuyến tính (xem cuốn sách của Grötschel, Lovász và Schrijver) chứ không phải bất cứ thứ gì trực tiếp và kết hợp. Có rất nhiều lớp biểu đồ khác nhau là lớp con của đồ thị hoàn hảo và có thuật toán tô màu dễ dàng hơn; đồ thị hợp âm, ví dụ, có thể được tô màu tham lam bằng cách sử dụng một thứ tự loại bỏ hoàn hảo.

Tất cả các đồ thị được kết nối cục bộ (đồ thị trong đó mỗi đỉnh có một vùng lân cận được kết nối) có thể có 3 màu trong thời gian đa thức, khi một màu tồn tại: chỉ cần mở rộng tam giác tô màu theo tam giác.

Đồ thị bậc ba tối đa có thể được tô màu theo thời gian đa thức: thật dễ dàng để kiểm tra xem chúng có phải là lưỡng cực hay không, và nếu không thì chúng chỉ yêu cầu ba màu hoặc chúng có K4 là thành phần được kết nối và yêu cầu bốn màu (định lý của Brooks).

Các đồ thị phẳng không có hình tam giác có thể được tô màu trong thời gian đa thức, vì cùng một lý do: chúng có nhiều nhất là 3 màu (định lý Grötzsch).

Đồ thị b-perfect cho phép tạo ra 5 chu kỳ (không giống như đồ thị hoàn hảo) và được hiển thị có thuật toán thời gian đa thức để tô màu bởi Hoàng, Maffray và Mechebbek, Một đặc tính của đồ thị hoàn hảo b , arXiv: 1004.5306 , 2010.

(Thật đáng tiếc khi bản tóm tắt tuyệt vời của các lớp biểu đồ tại ISGCI chỉ bao gồm cliquewidth, tập độc lập và thống trị. Nó không bao gồm thông tin về tô màu.)

Ngoài ra đối với các đồ thị có độ rộng giới hạn (thường chung hơn treewidth): Kobler và Rotics .

$n^{f(k)}$

Ngoài ra, độ rộng của clique rất khó tính toán, nhưng có một thuật toán gần đúng của Oum và Seymour, "ppro xấp xỉ clique-width và Branch-width" (với phép tính gần đúng theo cấp số nhân).

$k$

Bất kỳ họ đồ thị nào có chiều rộng cây giới hạn sẽ có thuật toán thời gian đa thức để tính toán số màu. Gamarnik giảm vấn đề đếm màu cho vấn đề tính toán biên của các Trường ngẫu nhiên Markov nhất định được xác định trên cùng một biểu đồ. Kết quả như sau bởi vì biên của MRF trên đồ thị chiều rộng cây bị giới hạn có thể được tính trong thời gian đa thức với thuật toán cây giao nhau .

Cập nhật 26/8 : Đây là một ví dụ về "# màu," <-> giảm biên. Nó đòi hỏi bắt đầu với một màu thích hợp, có thể được tìm thấy trong thời gian đa thức cho các đồ thị có chiều rộng cây bị giới hạn với phiên bản cộng của thuật toán cây ngã ba. Bây giờ để nghĩ về nó ... bạn không thực sự cần # màu cho số màu, chỉ cần một màu thích hợp duy nhất

$P_5$$C_5$$P_5$

$2P_3$

Ngoài ra còn có kết quả của Daniel Marx liên quan đến sự phức tạp của bài toán số màu trên các biểu đồ có thể được tạo thành hợp âm bằng cách xóa hầu hết các đỉnh k; với mọi k cố định, vấn đề này là đa thức ( http://dx.doi.org/10.1016/j.tcs.2005.10.008 ).

Các thuật toán để tô màu tứ giác .
M. Bern, D. Eppstein và B. Hutchings.
http: // arXiv: cs.CG/9907030 .
Thuật toán 32 (1): 87-94, 2002.

Chúng tôi xem xét một số biến thể của vấn đề tô màu các hình vuông của một hình tứ giác để không có hai hình vuông liền kề nào có màu giống nhau. Chúng tôi đưa ra các thuật toán thời gian tuyến tính đơn giản cho các hình tứ giác cân bằng 3 màu với độ chụm cạnh, hình tứ giác không cân bằng 4 màu với độ chụm cạnh và hình tứ giác cân bằng hoặc không cân bằng 6 màu với góc kề. Số lượng màu được sử dụng bởi hai thuật toán đầu tiên là tối ưu; đối với thuật toán thứ ba, đôi khi có thể cần 5 màu.