Khoảng cách tích phân và tỷ lệ xấp xỉ

Khi chúng tôi xem xét một thuật toán gần đúng cho một vấn đề tối thiểu hóa, khoảng cách tích phân của một công thức IP cho vấn đề này đưa ra giới hạn thấp hơn của tỷ lệ gần đúng cho một loại thuật toán nhất định (chẳng hạn như thuật toán làm tròn hoặc primal-dual). Trong thực tế, có nhiều vấn đề có tỷ lệ xấp xỉ tốt nhất phù hợp với khoảng cách tích phân.

Một số thuật toán có thể có tỷ lệ xấp xỉ tốt hơn khoảng cách tích phân cho một số vấn đề, nhưng tôi không biết liệu một ví dụ như vậy có tồn tại hay không. Nếu câu trả lời là có, bạn có thể đưa ra một số ví dụ?

Tôi biết rằng một số vấn đề thừa nhận nhiều công thức toán học. Trong các trường hợp như vậy, hãy xem xét công thức toán học với khoảng cách tích phân nhỏ nhất, miễn là nó có thể được giải trong thời gian đa thức (có lẽ một số công thức có thể sử dụng các phép lạ tách).

Câu hỏi này liên quan đến [câu hỏi: Tầm quan trọng của Khoảng cách Tích phân] .

— Người tuyết
nguồn

Tôi đoán rằng TSP hình học sẽ là một ví dụ về vấn đề như vậy, nhưng tôi không có bất kỳ tài liệu tham khảo nào.

— Jukka Suomela

Và những gì về các vấn đề thừa nhận một PTAS sử dụng chiến lược thay đổi? Có ai trong số họ có một công thức IP với khoảng cách tích phân nhỏ tùy ý không?

— Jukka Suomela

@Jukka TSP hình học là một ví dụ tốt. Các 4/3 trạng thái trọn vẹn khoảng cách ví dụ là một con đường ngắn nhất số liệu trên đồ thị phẳng, và chúng ta có thể biến thành một thể hiện của Euclide TSP hoặc

TSP trong mặt phẳng với một

khoảng cách

ℓ_{1}

$\ell_1$

1 + ϵ

$1+\epsilon$

— Luca Trevisan

Tôi nghe nó được đề cập như một câu hỏi mở thú vị, liệu các PTAS cho các vấn đề trên đồ thị phẳng có thể được nhận ra bằng cách sử dụng một số mức độ thư giãn Sherali-Adams hoặc Lasserre không đổi. (Trường hợp hằng số phụ thuộc vào tỷ lệ xấp xỉ mà người ta muốn đạt được.) Nên biết, hoặc ít nhất có thể chứng minh được bằng các kỹ thuật hiện tại, rằng các vấn đề đồ thị có PTAS trong đồ thị dày đặc (ví dụ cắt tối đa) cũng có một họ đa thức thư giãn kích thước với khoảng cách tích hợp nhỏ tùy ý.

— Luca Trevisan

Câu hỏi liên quan: Có bất kỳ vấn đề nào được chứng minh rằng bất kỳ LP kích thước đa thức nào cũng không thể đưa ra tỷ lệ xấp xỉ được biết đến tốt nhất hiện tại không? Có thể chứng minh điều đó, ngay cả đối với một số loại LP bị hạn chế?

— Danu

Câu trả lời:

Như đã chỉ ra, có khá nhiều ví dụ.

Một ví dụ cổ điển là kết hợp tối đa, trong đó thư giãn "tự nhiên" (không có ràng buộc tập lẻ) có khoảng cách là 2, trong khi đó tất nhiên có một thuật toán hiệu quả. Điều này không hoàn toàn đủ điều kiện mặc dù, vì có một LP có kích thước theo cấp số nhân có thể được giải quyết thông qua ellipsoid.

Một trong những hấp dẫn là vị trí cơ sở điện dung. Ở đây thư giãn tự nhiên có khoảng cách tích hợp không giới hạn. Tuy nhiên, các thuật toán dựa trên tìm kiếm địa phương đưa ra các xấp xỉ hệ số không đổi.

Một vấn đề rất thú vị khác (mặc dù đó là vấn đề tối đa hóa) là bài viết này: http://www.cis.upenn.edu/~sanjeev/postscript/FOCS09_MaxMin.pdf . Ở đây LP có một khoảng cách lớn, và một thuật toán sử dụng LP đó có thể làm tốt hơn.

— Kunal
nguồn

Cảm ơn rât nhiều. Câu trả lời này chứa những gì tôi đang tìm kiếm, đặc biệt là bài báo FOCS được viết bởi Chakrabarty et al. (bài báo này làm tôi quan tâm rất nhiều). Vì vậy, tôi đặt câu trả lời này là chấp nhận. Tôi vẫn đang tìm kiếm nhiều ví dụ hơn và vì vậy bất cứ ai có thể đưa ra các ví dụ khác sẽ được đánh giá cao.

— Snowie

Có nhiều ví dụ khác nhau trong đó thư giãn lập trình semidefinite cho phép xấp xỉ vượt trội so với các khoảng trống tích hợp đã biết đối với thư giãn lập trình tuyến tính.

Ví dụ, thư giãn lập trình tuyến tính tiêu chuẩn của max cut có khoảng cách tích phân là 1/2 và điều này đúng ngay cả đối với các thư giãn lập trình tuyến tính phức tạp hơn nhiều (cf de la Vega-Kenyon và Schoenebeck-Trevisan-Tulsiani), nhưng Goemans -Williamson thuật toán SDP có xấp xỉ 0,878 ...

$\Omega(\log n)$ $O(\sqrt{\log n})$

Có lẽ ít được biết đến, Karloff và Zwick cho thấy rằng sử dụng SDP người ta có thể xấp xỉ Max 3SAT, trong phiên bản mà các mệnh đề có thể có 1, 2 hoặc 3 chữ, trong vòng 7/8, trong khi Goemans và Williamson đã nghiên cứu một thư giãn lập trình tuyến tính mà họ được sử dụng để chứng minh xấp xỉ 3/4 (Yannakakis đã đưa ra xấp xỉ 3/4 trước đó bằng các phương pháp khác) và việc thư giãn Max 3SAT của Goemans-Williamson có thể dễ dàng nhận thấy có khoảng cách tích phân 3/4.

— Luca Trevisan
nguồn

Ngoài ra còn có một kết quả của Grant về việc giải quyết các hệ thống tuyến tính trên GF_2. Đối với các hệ phương trình có giải pháp tốt, bạn có khoảng cách tích phân SDP (ở dạng rất mạnh) là 2 trong khi bạn có thể sử dụng Loại bỏ Gaussian để giải quyết vấn đề chính xác.

— YI
nguồn