Nguồn gốc của khái niệm treewidth

Câu hỏi của tôi hôm nay là (như thường lệ) một chút ngớ ngẩn; nhưng tôi sẽ yêu cầu bạn vui lòng xem xét nó.

Tôi muốn biết về nguồn gốc và / hoặc động lực đằng sau khái niệm treewidth. Tôi chắc chắn hiểu rằng nó được sử dụng trong các thuật toán của FPT, nhưng tôi không nghĩ rằng đó là lý do tại sao khái niệm này được định nghĩa.

Tôi đã viết lên các ghi chú về chủ đề này trong lớp của Giáo sư Robin Thomas . Tôi nghĩ rằng tôi hiểu một số ứng dụng của khái niệm này (vì nó chuyển các thuộc tính tách của cây sang biểu đồ bị phân hủy), nhưng vì một số lý do tôi không thực sự tin rằng lý do khái niệm này được phát triển là để đo lường sự gần gũi của đồ thị đến một cái cây.

Tôi sẽ cố gắng làm cho bản thân rõ ràng hơn (tôi không chắc là tôi có thể không, xin vui lòng cho tôi biết nếu câu hỏi không rõ ràng). Tôi muốn biết liệu các khái niệm tương tự có tồn tại ở một nơi khác trong một số nhánh toán học khác từ đó khái niệm này được cho là "mượn" hay không. Dự đoán của tôi sẽ là cấu trúc liên kết - nhưng do thiếu nền tảng của tôi, tôi không thể nói bất cứ điều gì.

Lý do chính là tại sao tôi tò mò về điều này sẽ là - lần đầu tiên tôi đọc định nghĩa của nó, tôi không chắc tại sao và làm thế nào bất cứ ai sẽ quan niệm về nó và kết thúc. Nếu câu hỏi vẫn chưa rõ ràng, cuối cùng tôi sẽ thử nêu nó theo cách này - Chúng ta hãy giả vờ khái niệm treewidth không tồn tại. Những câu hỏi tự nhiên nào (hoặc phần mở rộng của một số định lý / khái niệm toán học) cho các cài đặt riêng biệt sẽ khiến người ta hình dung ra một định nghĩa (hãy để tôi sử dụng từ liên quan) như của treewidth.

Nếu bạn thực sự muốn biết điều gì đã dẫn Neil Robertson và tôi đến chiều rộng cây, thì đó hoàn toàn không phải là thuật toán. Chúng tôi đã cố gắng giải quyết phỏng đoán của Wagner rằng trong bất kỳ tập đồ thị vô hạn nào, một trong số chúng là thứ yếu của cái khác, và chúng tôi đã đúng ngay từ đầu. Chúng tôi biết đó là sự thật nếu chúng tôi giới hạn trong các biểu đồ không có đường dẫn đỉnh k; Hãy để tôi giải thích tại sao. Chúng tôi biết tất cả các đồ thị như vậy có cấu trúc đơn giản (chính xác hơn, mọi đồ thị không có đường dẫn đỉnh k đều có cấu trúc này và mọi đồ thị có cấu trúc này không có đường dẫn 2 ^ k-vertex); và chúng tôi biết rằng trong mọi tập hợp đồ thị vô hạn đều có cấu trúc này, một trong số chúng là thứ yếu của một đồ thị khác. Vì vậy, phỏng đoán của Wagner là đúng đối với các biểu đồ có giới hạn về độ dài đường dẫn tối đa của chúng.

Chúng tôi cũng biết điều đó đúng với các biểu đồ không có ngôi sao k là trẻ vị thành niên, một lần nữa bởi vì chúng tôi có một định lý cấu trúc cho các biểu đồ như vậy. Chúng tôi đã cố gắng tìm kiếm những vị thành niên tổng quát hơn có các định lý cấu trúc tương ứng mà chúng tôi có thể sử dụng để chứng minh phỏng đoán của Wagner và điều đó dẫn chúng tôi đến chiều rộng đường dẫn; loại trừ BẤT K tree cây nào là trẻ vị thành niên và bạn có chiều rộng đường dẫn bị giới hạn và nếu bạn đã giới hạn độ rộng đường dẫn thì có những cây bạn không thể có với tư cách là trẻ vị thành niên. (Đó là một định lý khó đối với chúng tôi; chúng tôi đã có một bằng chứng cực kỳ khó khăn trong bài viết về Đồ thị nhỏ đầu tiên, đừng đọc nó, nó có thể được thực hiện dễ dàng hơn nhiều.) Nhưng chúng tôi có thể chứng minh phỏng đoán của Wagner cho các đồ thị có độ rộng đường dẫn bị ràng buộc, và điều đó có nghĩa là nó đúng với các biểu đồ không chứa bất kỳ cây cố định nào là phụ; một khái quát lớn của các trường hợp con đường và ngôi sao tôi đã đề cập trước đó.

Dù sao, với điều đó chúng tôi đã cố gắng để có được hơn nữa. Chúng tôi không thể làm đồ thị chung, vì vậy chúng tôi nghĩ về đồ thị phẳng. Chúng tôi đã tìm thấy một định lý cấu trúc cho các đồ thị phẳng không chứa bất kỳ đồ thị phẳng cố định nào dưới dạng thứ yếu (điều này rất dễ); nó bị giới hạn chiều rộng cây. Chúng tôi đã chứng minh rằng đối với bất kỳ đồ thị phẳng cố định nào, tất cả các đồ thị phẳng không chứa nó như là một phần nhỏ có chiều rộng cây giới hạn. Như bạn có thể tưởng tượng, điều đó thực sự thú vị; bởi sự trùng hợp, định lý cấu trúc để loại trừ các đồ thị phẳng (bên trong các đồ thị phẳng lớn hơn) là một sự thay đổi tự nhiên trên định lý cấu trúc để loại trừ các cây (bên trong các đồ thị chung). Chúng tôi cảm thấy mình đang làm một cái gì đó đúng. Và điều đó cho phép chúng tôi chứng minh phỏng đoán của Wagner cho tất cả các đồ thị phẳng, bởi vì chúng tôi có định lý cấu trúc này.

Do chiều rộng của cây làm việc để loại trừ các đồ thị phẳng trong các đồ thị phẳng lớn hơn, nên một câu hỏi tự nhiên là liệu nó có hoạt động để loại trừ các đồ thị phẳng trong các đồ thị không phẳng không - có đúng với mọi đồ thị phẳng cố định, tất cả các đồ thị không chứa nó như một tiểu đã bị giới hạn chiều rộng cây? Điều này chúng ta không thể chứng minh trong một thời gian dài, nhưng đó là cách chúng ta phải suy nghĩ về chiều rộng cây của đồ thị chung. Và một khi chúng ta có khái niệm về chiều rộng cây, khá rõ ràng rằng nó tốt cho các thuật toán. (Và vâng, chúng tôi không biết rằng Halin đã nghĩ về chiều rộng cây rồi.)

Đây là cách bạn có thể tự mình nghĩ ra khái niệm chiều rộng cây.

Giả sử bạn muốn đếm số lượng bộ độc lập trong biểu đồ sau.

Các tập độc lập có thể được phân vùng thành các tập hợp nơi nút trên cùng bị chiếm đóng và các tập hợp không có người ở

Bây giờ, lưu ý rằng việc biết liệu nút trên cùng có bị chiếm hay không, bạn có thể đếm số lượng tập hợp độc lập trong mỗi bài toán con một cách riêng biệt và nhân chúng. Lặp lại quy trình này theo cách đệ quy cung cấp cho bạn một thuật toán để đếm các bộ độc lập dựa trên các dấu tách đồ thị.

Bây giờ, giả sử bạn không còn có một cái cây. Điều này có nghĩa là dấu phân cách lớn hơn, nhưng bạn có thể sử dụng cùng một ý tưởng. Xem xét đếm các bộ độc lập trong biểu đồ sau.

Sử dụng cùng một ý tưởng để phá vỡ vấn đề thành các bài toán con trên dải phân cách bạn nhận được như sau

Giống như trong ví dụ trước, mỗi thuật ngữ trong tổng sẽ phân tách thành hai nhiệm vụ đếm nhỏ hơn trên dải phân cách.

Lưu ý rằng chúng ta có nhiều số hạng hơn trong ví dụ trước vì chúng ta phải liệt kê tất cả các cấu hình trên dải phân cách của chúng, có thể có khả năng tăng theo cấp số nhân với kích thước của dấu phân cách (kích thước 2 trong trường hợp này).

Phân rã cây là một cấu trúc dữ liệu để lưu trữ gọn các bước phân vùng đệ quy này. Hãy xem xét biểu đồ sau và phân rã cây của nó

Để tính bằng cách sử dụng phân tách này, trước tiên bạn sửa các giá trị trong các nút 3.6, chia nó thành 2 biểu tượng con. Trong bài toán con đầu tiên, bạn cũng sửa thêm nút 5, phần này chia phần của nó thành hai phần nhỏ hơn.

Kích thước của dải phân cách lớn nhất trong phân rã đệ quy tối ưu chính xác là chiều rộng của cây. Đối với các vấn đề đếm lớn hơn, kích thước của dải phân cách lớn nhất chiếm ưu thế trong thời gian chạy, đó là lý do tại sao đại lượng này rất quan trọng.

Đối với khái niệm đo chiều rộng của cây, mức độ gần của đồ thị với cây, một cách để làm cho nó trực quan là xem xét đạo hàm thay thế của phân rã cây - từ sự tương ứng với các biểu đồ hợp âm. Đầu tiên, tam giác đồ thị bằng cách di chuyển các đỉnh theo thứ tự và liên kết tất cả các lân cận "có thứ tự cao hơn" của mỗi đỉnh.

Sau đó, xây dựng phân rã cây bằng cách lấy các cụm cực đại và kết nối chúng với nhau, giao điểm của chúng là một dải phân cách tối đa.

Phương pháp phân tách đệ quy và cách tiếp cận dựa trên tam giác của việc xây dựng phân rã cây là tương đương. Chiều rộng cây + 1 là kích thước của cụm lớn nhất trong tam giác tối ưu của đồ thị, hoặc nếu đồ thị đã được tam giác, chỉ là kích thước của cụm lớn nhất.

Vì vậy, theo một nghĩa nào đó, đồ thị hợp âm của treewidth tw có thể được coi là cây trong đó thay vì các nút đơn lẻ, chúng ta có các cụm kích thước chồng chéo nhiều nhất là tw + 1. Các biểu đồ không hợp âm là những "cây clique" như vậy với một số cạnh bị thiếu

Dưới đây là một số biểu đồ hợp âm và chiều rộng cây của chúng.

Tôi tin rằng chính treewidth đã bắt đầu với bài báo Robertson Seymour đã được đưa ra. Nhưng một số tiền thân trước đó dường như là:

• Khái niệm về "kích thước" của đồ thị sẽ điều khiển hành vi của các thuật toán lập biểu động trên nó, từ Bertelé, Umberto; Brioschi, Francesco (1972), Lập trình động không đặc biệt .

• Khái niệm trò chơi trốn tránh trên đồ thị, từ Parsons, TD (1976). "Theo đuổi trốn tránh trong một biểu đồ". Lý thuyết và ứng dụng của đồ thị . Springer-Verlag. trang 426 bóng441. Một biến thể của điều này sau đó đã được chứng minh là tương đương với treewidth: Seymour, Paul D.; Thomas, Robin (1993), "Tìm kiếm đồ thị và một định lý tối thiểu cho chiều rộng cây", Tạp chí lý thuyết kết hợp, sê -ri B 58 (1): 22 Chuyện33 , doi: 10.1006 / jctb.1993.1027 .

• Hệ thống phân cấp cho đồ thị phẳng, bắt đầu từ Ungar, Peter (1951), "Một định lý về đồ thị phẳng", Tạp chí của Hội Toán học Luân Đôn 1 (4): 256, doi: 10.1112 / jlms / s1-26.4.256 , và tiếp tục với một số bài báo của Lipton và Tarjan năm 1979191980. Kích thước của dải phân cách lớn nhất trong hệ thống phân cấp của loại này có liên quan chặt chẽ với treewidth.

Tiến tới thời điểm mà các ý tưởng của Robertson, Seymour có thể đã bắt đầu xuất hiện, cũng có một bài báo sớm hơn Graph Minors II kết nối rõ ràng các ý tưởng trốn tránh và phân tách, và điều đó xác định một khái niệm về chiều rộng tương đương với băng thông : Ellis, JA; Sudborough, IH; Turner, JS (1983), "Phân tách đồ thị và số tìm kiếm", Proc. 1983 Allerton Conf. về Truyền thông, Điều khiển và Máy tính.

Trong chuyên khảo về lý thuyết đồ thị, Reinhard Diestel theo dõi khái niệm treewidth và sự phân hủy cây trở lại một bài báo năm 1976 của Halin (mặc dù không sử dụng những tên này). Ông cũng gán cho bài báo này kết quả là đồ thị lưới phẳng có treewidth không giới hạn. Tất nhiên, ông cũng đề cập đến bài báo sau này của Robertson và Seymour, người đã "khám phá lại khái niệm này, rõ ràng là không biết gì về công việc của Halin" (xin lỗi nếu bản dịch của tôi kém).

• $S$
• Reinhard Diestel. Graphentheorie , ấn bản tiếng Đức thứ 3, Notizen zu Kapitel 10. (Một số ấn bản tiếng Anh của cuốn sách có sẵn trực tuyến để tải về miễn phí.)

Khái niệm về chiều rộng cây [1] (và chiều rộng nhánh khái niệm tương tự ) đã được Robertson và Seymour giới thiệu trong các bài báo chuyên đề của họ về Đồ thị nhỏ .

$G$$H$

Xem: N. Robertson, PD Seymour. Đồ thị nhỏ. II. Các khía cạnh thuật toán của chiều rộng cây . Dòng JCT B (1986)