Vẽ biểu đồ số giới hạn

Định lý Fáry nói rằng một đồ thị phẳng đơn giản có thể được vẽ mà không có giao điểm sao cho mỗi cạnh là một đoạn thẳng.

Câu hỏi của tôi là liệu có một định lý tương tự cho các đồ thị của số giao nhau giới hạn . Cụ thể, chúng ta có thể nói rằng một đồ thị đơn giản với số chéo k có thể được vẽ để có k giao nhau trong bản vẽ và sao cho mỗi cạnh là một đường cong bậc nhất là f (k) cho một số hàm f?

EDIT: Như David Eppstein nhận xét, có thể dễ dàng nhận thấy rằng định lý của Fáry ngụ ý một bản vẽ đồ thị có số chéo k sao cho mỗi cạnh là một chuỗi đa giác với hầu hết các uốn cong k. Tôi vẫn tò mò mặc dù mỗi cạnh có thể được vẽ bằng các đường cong giới hạn. Hsien-Chih Chang chỉ ra rằng f (k) = 1 nếu k là 0, 1, 2, 3 và f (k)> 1 nếu không.

Nếu một đồ thị có số giao cắt giới hạn, nó có thể được vẽ bằng số giao cắt đó trong mô hình đa tuyến (tức là mỗi cạnh là một chuỗi đa giác, phổ biến hơn nhiều trong tài liệu vẽ biểu đồ so với các đường cong đại số có giới hạn) với số lần uốn giới hạn mỗi cạnh. Nói chung cũng đúng hơn nếu có một số lượng giao cắt giới hạn trên mỗi cạnh. Để thấy điều này, chỉ cần lập kế hoạch cho đồ thị (thay thế mỗi đường chéo bằng một đỉnh) và sau đó áp dụng Fáry.

Bây giờ, để sử dụng điều này để trả lời câu hỏi thực tế của bạn, điều bạn cần làm là tìm một đường cong đại số gần tùy ý với một đa tuyến đã cho, với mức độ giới hạn bởi một hàm của số lần uốn đa tuyến. Điều này cũng có thể được thực hiện, khá dễ dàng. Ví dụ: đối với từng phân khúc của polyline, hãy đ i là một hình elip với độ lệch tâm cao mà rất gần với s i , và để cho p i là một đa thức bậc hai đó là tích cực bên ngoài e i và tiêu cực bên trong e i . Hãy để đa thức tổng thể của bạn mang hình thức p = ε - Π i $s_i$$e_i$$s_i$$p_i$$e_i$$e_i$ nơi ε là một số thực nhỏ tích cực. Sau đó, một thành phần của đường cong p = 0 sẽ nằm một chút bên ngoài sự kết hợp của các hình elip và có thể được sử dụng để thay thế cho đa tuyến; mức độ của nó sẽ gấp đôi số lượng hình elip, là tuyến tính trong số lượng giao cắt trên mỗi cạnh.$p=\epsilon-\prod_i p_i$$\epsilon$$p=0$

$\overline{\mathsf{cr}}(G)$$G$$\mathsf{cr}(G)$$\overline{\mathsf{cr}}(G) \geq \mathsf{cr}(G)$$\overline{\mathsf{cr}}(G) = \mathsf{cr}(G)$$\mathsf{cr}(G) \leq k$$k$ .

Trong giới hạn giấy cho các số giao nhau trực tràng, Bienstock và Dean đã chứng minh rằng

$k \leq 3$$\overline{\mathsf{cr}}(G) = \mathsf{cr}(G)$$k \geq 4$$G_n$$\mathsf{cr}(G) = 4$$\overline{\mathsf{cr}}(G) \geq n$

$\mathsf{cr}(G) \leq 3$ .

$\overline{\mathsf{cr}}(G) \neq \mathsf{cr}(G)$$\mathsf{cr}(K_8) = 18$$\overline{\mathsf{cr}}(K_8) = 19$