Bằng chứng thu được chỉ thông qua lý thuyết đồ thị phổ

28

Tôi có mối quan tâm ngày càng tăng đối với lý thuyết đồ thị phổ, điều mà tôi thấy hấp dẫn và tôi đã bắt đầu thu thập một vài tài liệu mà tôi chưa đọc kỹ hơn những gì tôi cho đến nay.

Tuy nhiên, tôi tò mò về một tuyên bố xuất hiện trong một số nguồn (ví dụ ở đó ), về bản chất nói rằng một số kết quả trong lý thuyết đồ thị đã được chứng minh chỉ sử dụng các kỹ thuật dựa trên phổ và cho đến nay, không có bằng chứng nào cho thấy bỏ qua những kỹ thuật được biết đến.

Trừ khi tôi bỏ qua điều đó, tôi không nhớ là đã thấy một ví dụ như vậy trong tài liệu tôi đã đọc cho đến nay. Có ai trong số các bạn biết về các ví dụ về kết quả như vậy không?

— Anthony Labarre
nguồn

Tiêu đề của câu hỏi gợi ý rằng bạn đang yêu cầu bằng chứng chỉ có thể đạt được bằng lý thuyết đồ thị phổ, nhưng bạn đang yêu cầu bằng chứng cho đến nay chỉ có được bằng lý thuyết đồ thị phổ. Đây là hai câu hỏi hoàn toàn khác nhau. Vì vậy, khi nó đứng, tiêu đề là sai lệch, đó là lý do tại sao tôi thay đổi nó.

— Dave Clarke

@ Tôi đã thực hiện một rollback

— Suresh Venkat

5

Chương 7 của Phổ đồ thị của Cvetković, Doob và Sachs đưa ra rất nhiều ví dụ về các định lý mà các phát biểu không đề cập rõ ràng về phổ nhưng có thể chứng minh được bằng cách sử dụng các kỹ thuật quang phổ. Tôi đoán là nhiều trong số này không có bằng chứng phi phổ đã biết, mặc dù bạn phải xác minh điều này trong từng trường hợp cụ thể. Chắc chắn trong nhiều trường hợp, bằng chứng đơn giản nhất hoặc tự nhiên nhất sử dụng quang phổ.

— Timothy Chow

@Timothy Chow: Cảm ơn, tôi sẽ cố gắng để có được nó.

— Anthony Labarre

@TimothyChow: Tôi nghĩ bạn nên trả lời câu hỏi này.

— Suresh Venkat

12

Các Hoffman-Singleton lý .

— Colin McQuillan
nguồn

Hoffman-Singleton cũng là suy nghĩ đầu tiên của tôi. Nhưng, tôi không biết liệu có bằng chứng phi phổ nào tồn tại không và liệu chúng có tồn tại hay không vì chúng quá khó hoặc vì chưa có ai thử. Bằng chứng tiêu chuẩn là khá gọn gàng và súc tích, vì vậy tôi không biết động cơ của nó là gì để có được một bằng chứng không phổ.

— mhum

9

Làm thế nào về kết quả này trên máy tính lượng tử.

Mario Szegedy. Tăng tốc lượng tử của thuật toán dựa trên chuỗi Markov. Trong FOCS'04.

Ông mở rộng chuỗi Markov thành chuỗi Markov lượng tử, và cho thấy thời gian đánh lượng tử bị giới hạn trên bởi căn bậc hai của thời gian đánh cổ điển. Ông thực hiện điều này bằng cách liên hệ các vectơ số ít của chuỗi Markov cổ điển với các vectơ số ít của chuỗi Markov lượng tử. Trước bài báo này, không có bất kỳ mối quan hệ nào được biết đến giữa các bước đi ngẫu nhiên và lượng tử. Tôi không thể tưởng tượng làm thế nào để làm điều tương tự bằng cách sử dụng các kỹ thuật phi quang phổ.

— Marcos Villagra
nguồn

8

Tôi nghĩ rằng định lý về tình bạn (xem thêm bài viết của Huneke ) là một ví dụ điển hình mặc dù nói đúng ra hiện có bằng chứng về định lý tình bạn tránh các giá trị bản địa. Bằng chứng tránh giá trị bản địa hoàn toàn lộn xộn hơn nhiều so với bằng chứng quang phổ.

(Định lý về tình bạn nói rằng nếu trong một căn phòng của mọi người, mỗi cặp người có chính xác một người bạn chung, thì có một người biết tất cả những người khác.)

— Timothy Chow
nguồn

8

$L_G$ $G = (V,E,w)$ $G$ $H$ $x \in R^V$

x^{T} L_{H} x (1 - ε) \leq x^{T} L_{G} x \leq x^{T} L_{H} x (1 + ε) .

$x^T L_H x (1-\epsilon) \le x^T L_G x \le x^T L_H x (1+\epsilon).$

O (n / ϵ^{2})

$O(n/\epsilon^2)$

Mặc dù phát biểu của định lý có thể gây tranh cãi không phải là "phổ vốn có", tôi không nghĩ người ta có thể nhận được kết quả này hoặc kết quả như thế nào mà không cần sử dụng các kỹ thuật quang phổ.

— Lev Reyzin
nguồn

Có một chút tranh cãi vì liệu tuyên bố đó không phải là phổ. Theo nghĩa đen, bạn đúng, nhưng lý do duy nhất tôi có thể nghĩ tại sao hình thức bậc hai xuất hiện là quang phổ.

— Suresh Venkat

1

F (A) = {x^{T} A x : | | x | |_{2} = 1}

$F(A) = \{x^TAx: ||x||_2 = 1\}$

O (n / ϵ^{2})

$O(n/\epsilon^2)$

Chắc chắn - nhưng người ta có thể tưởng tượng nhận được các sparsifier theo cách khác. Nhưng, vâng, đây có thể không phải là ví dụ tốt nhất ...

— Lev Reyzin