Thư giãn LP của bộ độc lập

13

Tôi đã thử thư giãn LP sau của bộ độc lập tối đa

max \sum_{i} x_{i}

$\max \sum_i x_i$

s.t. x_{i} + x_{j} \leq 1 \forall (i, j) \in E

$\text{s.t.}\ x_i+x_j\le 1\ \forall (i,j)\in E$

x_{i} \geq 0

$x_i\ge 0$

Tôi nhận được $1/2$ cho mỗi biến số cho mỗi đồ thị không có hai khối mà tôi đã thử.

Có đúng với tất cả các đồ thị không phải lưỡng cực được kết nối không?
Có thư giãn LP nào hoạt động tốt hơn cho các biểu đồ như vậy?

Cập nhật 03/05 :

Đây là kết quả của việc thư giãn LP dựa trên clique được đề xuất bởi Nathan

Tôi đã tóm tắt các thử nghiệm ở đây Thật thú vị, dường như có khá nhiều biểu đồ không phải là lưỡng cực mà việc thư giãn LP đơn giản nhất là không thể thiếu.

graph-theory co.combinatorics linear-programming

— Ba Tư
nguồn

Giải pháp chắc chắn không phải là duy nhất. Trong biểu đồ lưỡng cực khối, bạn có thể có một giải pháp tối ưu với trong một phần và trong phần khác.

x_{i} = 1 / 2

$x_i = 1/2$

x_{i} = 1

$x_i = 1$

x_{i} = 0

$x_i = 0$

— Jukka Suomela

1

Xin lỗi, tôi đã bỏ lỡ phần quan trọng, tôi chỉ xem xét đồ thị khối không phải là lưỡng cực. Mỗi đồ thị khối lưỡng cực mà tôi đã thử có một giải pháp không thể thiếu

— Yaroslav Bulatov

Bạn cũng cần thêm "kết nối" nếu bạn muốn tránh các giải pháp không độc đáo.

— Jukka Suomela

2

(1) Bạn đã quên viết các ràng buộc không âm. (2) Đối với đồ thị lưỡng cực, giá trị tối ưu của độ giãn LP này luôn bằng với kích thước tối đa của một tập độc lập. Đây là một hệ quả tất yếu của định lý König .

— Tsuyoshi Ito

2

@ Nam Tư: Một câu hỏi phụ: làm thế nào để bạn vẽ những biểu đồ này?

— Tim

16

Đồ thị khối không kết nối lưỡng cực có giải pháp tối ưu duy nhất ; trong một đồ thị khối lưỡng cực, bạn có một giải pháp tối ưu không thể thiếu. $x_i = 1/2$

Chứng minh: Trong biểu đồ khối, nếu bạn tính tổng tất cả các ràng buộc , bạn có và do đó tối ưu là tối đa . $3n/2$ $x_i + x_j \le 1$ $\sum_i 3 x_i \le 3n/2$ $n/2$

Giải pháp cho tất cả là khả thi tầm thường, và do đó cũng tối ưu. $x_i = 1/2$ $i$

Trong đồ thị khối hai cực, mỗi phần có một nửa các nút và giải pháp trong một phần do đó cũng tối ưu. $x_i = 1$

Bất kỳ giải pháp tối ưu nào cũng phải chặt chẽ, nghĩa là chúng ta phải có và do đó cho mỗi cạnh . Do đó, nếu bạn có một chu kỳ lẻ, bạn phải chọn cho mỗi nút trong chu trình. Và sau đó nếu biểu đồ được kết nối, lựa chọn này sẽ được phổ biến ở mọi nơi. $\sum_i 3 x_i = 3n/2$ $x_i + x_j = 1$ $\{i,j\}$ $x_i = 1/2$

— Jukka Suomela
nguồn

2

Như tôi đã viết trong một nhận xét về câu hỏi, bạn chỉ cần tính lưỡng cực để chứng minh sự tồn tại của một giải pháp tối ưu không thể thiếu (nhưng điều này đòi hỏi một bằng chứng khác với bạn).

— Tsuyoshi Ito

@Tsuyoshi: Vâng, định lý của König là tốt để ghi nhớ. Ví dụ, cùng với quan sát trên, nó sẽ cho thấy rằng bất kỳ đồ thị khối lưỡng cực nào cũng có hệ số 1 (nghĩa là nó có thể được phân chia thành ba khớp hoàn hảo). Tất nhiên đây là cách "sai" để chứng minh kết quả này, nhưng tôi nghĩ nó chứng minh một cách độc đáo sức mạnh của định lý König - nếu bạn chỉ nhớ định lý của König, có rất nhiều kết quả cổ điển trong lý thuyết đồ thị mà sau đó bạn có thể tái tạo dễ dàng .

— Jukka Suomela

12

LP này là một nửa tích phân cho tất cả các đồ thị, nghĩa là, một giải pháp tối ưu tồn tại sao cho mỗi biến nằm trong {0,1 / 2,1}. Nó chỉ đơn giản là theo một định lý của Nemhauser và Trotter. Tất nhiên, kết luận tương tự về tính tích phân nửa sau cho LP của bài toán bổ sung (nắp đỉnh). Khi đồ thị là lưỡng cực, giải pháp là tích phân. Nó tuân theo đơn giản từ định lý cắt cực tiểu dòng chảy hoặc làm việc với các giải pháp điểm cực trị của LP này. Ngoài ra, các cạnh 1/2 tạo thành một chu kỳ lẻ.

Tất nhiên, LP này không tốt cho việc giải quyết vấn đề IS. Thêm các ràng buộc Clique hoặc SDP là một cách tiếp cận tốt hơn nhiều.

Vertex packings: thuộc tính cấu trúc và thuật toán GL Nemhauser và Trotter-Math. Chương trình., 1975

— Mohit Singh
nguồn

Phải, xem thêm Định lý 5.6 của bài viết này để biết thuật toán rất đơn giản có hiệu quả tìm ra giải pháp nửa tích phân.

— Jukka Suomela

LP với các ràng buộc Clique đã giải quyết thêm khoảng 50% đồ thị từ tập hợp ở trên .... tôi có thể tìm công thức SDP ở đâu?

— Yar Tư Bulatov

7

Luận án tiến sĩ của Sergiy Butenko từ năm 2003 đánh giá một số thư giãn LP khác của MIS, cũng như một số thư giãn bậc hai.

— Suresh Venkat
nguồn

6

Có một cách khác để có được một "phiên bản thoải mái của bộ độc lập tối đa". Thay vì có các ràng buộc "cho mỗi cạnh, tổng tối đa là 1", các ràng buộc là "cho mỗi sơ đồ con hoàn chỉnh, cạnh nhiều nhất là 1". Có nghĩa là: cho mỗi cạnh, cho mỗi tam giác, cho mỗi và cứ thế. $K_4$

Đây được gọi là số tập độc lập phân đoạn. Bạn sẽ tìm thấy một số thông tin ở đó: http://en.wikipedia.org/wiki/Fractional_coloring hoặc trong cuốn sách "Lý thuyết đồ thị phân số" từ Daniel Ullman và Edward Scheinerman ( http://www.ams.jhu.edu/~ers / fgt / ).

Trên thực tế, công thức này là NP-Hard để tính toán, mặc dù tất cả các biến đều liên tục -> số lượng các cụm là theo cấp số nhân và khó tính toán .... Nhưng bạn chỉ có thể liệt kê một số cụm đặc biệt, ví dụ như các cạnh (mà bạn vừa làm), hoặc các cạnh + hình tam giác, hoặc tất cả các cụm sao lên tới . Rốt cuộc, giá trị chỉ có thể trở thành "đại diện hơn" của giá trị số nguyên thực (*) :-) $K_k$

Nathann

(*) điều này đang được nói, về mặt lý thuyết, bạn có một sự khác biệt lớn tùy ý giữa kết quả tối ưu trong LP nơi tất cả các nhóm được biểu diễn và tập độc lập tối ưu

— Nathann Cohen
nguồn

1

k

$k$

(k + 1)

$(k+1)$

x_{i} = 1 / k

$x_i = 1/k$

i

$i$

thật thú vị, điều này dường như có liên quan đến sự dễ dàng của Độc lập trong các biểu đồ hợp âm

— Yaroslav Bulatov

Tôi đã thực hiện một số thí nghiệm và giải pháp cho việc thư giãn LP này luôn không thể thiếu trong các biểu đồ hợp âm

— Yaroslav Bulatov

1

@YaroslavBulatov Có một lý do để bạn quan sát. Các bất đẳng thức clique và giới hạn không âm cung cấp thân lồi của các tập độc lập khi và chỉ khi đồ thị hoàn hảo. Đồ thị hợp âm là hoàn hảo.

— Austin Hội trưởng