Có một thuật toán tồn tại để duy trì hiệu quả thông tin kết nối cho DAG khi có chèn / xóa không?

Cho một đồ thị chu kỳ có hướng, , có thể hỗ trợ hiệu quả các hoạt động sau không?$G(V,E)$

• : Xác định nếu có một đường dẫn trong G từ nút a đến nút$isConnected(G,a,b)$$G$$a$$b$
• : Thêm một cạnh từ a đến b trong đồ thị$link(G,a,b)$$a$$b$$G$
• : Loại bỏ cạnh từ a đến b trong$unlink(G,a,b)$$a$$b$$G$
• : Thêm một đỉnh vào G$add(G,a)$
• : Loại bỏ một đỉnh khỏi G$remove(G,a)$

Một vài lưu ý:

• Nếu chúng ta không được phép , có vẻ như nó sẽ được dễ dàng để duy trì thông tin mối, sử dụng một cấu trúc kiểu dữ liệu rời nhau-set.$unlink$
• Rõ ràng, có thể được thực hiện sử dụng độ sâu hoặc tìm kiếm theo chiều rộng, sử dụng các đại diện dựa trên con trỏ ngây thơ của đồ thị. Nhưng điều này là không hiệu quả.$isConnected$

Tôi hy vọng thời gian khấu hao không đổi hoặc logarit cho cả ba thao tác. Điều này có thể không?

Vấn đề bạn đã mô tả là khả năng tiếp cận DAG hoàn toàn động (còn được gọi là đóng cửa bắc cầu hoàn toàn động trên DAG). Nó được gọi là hoàn toàn năng động vì mọi người cũng nghiên cứu các phiên bản trong đó chỉ có thể xóa (sau đó gọi là khả năng tiếp cận giảm dần) và trong đó chỉ có thể chèn thêm (gọi là khả năng tiếp cận tăng dần).

$m$$n$$n^{1.58}$$n^{0.58}$$mn+I·n^2+D$$I$$D$$1$

$n^2$$m\sqrt{n}$$O(\sqrt{n}$$m+n\log n$$n$$n^{1.58}$$n^{0.58}$$n^{1.495}$$n^{1.495}$

Có được thời gian truy vấn đa bội, mà không tăng thời gian cập nhật quá nhiều là một vấn đề mở lớn, ngay cả đối với DAG.

$O(n^{0.58})$$O(n^{1.58})$

(Điều này chỉ bao gồm các phiên bản đầu tiên của câu hỏi của bạn, với linkvà unlinknhưng không có addvà remove.)