Thư giãn SDP của bộ độc lập

Tôi đang xem trang 28 của Lovasz "Các chương trình Semidefinite và tối ưu hóa tổ hợp" và nó đưa ra xấp xỉ số độc lập sau của biểu đồ

phụ thuộc vào

max u^{'} Z u

$\max u' Z u$

Z ≻ 0

$Z\succ 0$

Z_{i j} = 0 \forall i j \in E (G)

$Z_{ij}=0 \ \forall ij\in E(G)$

t r (Z) = 1

$tr(Z)=1$

Tôi có thể lấy bộ độc lập (hoặc thứ gì đó gần với bộ độc lập) trực tiếp từ giải pháp thư giãn SDP không? Lovasz nói rằng SDP là cách duy nhất được biết để giải quyết vấn đề này chính xác cho các biểu đồ hoàn hảo, điều đó có còn đúng không?

Làm rõ: có một sự thư giãn SDP tương tự cho kích thước của vết cắt tối đa và tôi có thể có được giải pháp đầy đủ (vết cắt thực tế, thay vì kích thước của nó) bằng cách lấy căn bậc hai của Z và thực hiện làm tròn ngẫu nhiên (cuốn sách của Williamson / Shmoys ). Tôi tự hỏi nếu có một kỹ thuật tương tự cho vấn đề này

— Ba Tư
nguồn

Đối với câu hỏi đầu tiên, tôi không thực sự hiểu ý của bạn về "tập độc lập thực tế". SDP là một thư giãn, và do đó, giá trị tối ưu của SDP giới hạn số độc lập từ phía trên. Nếu chúng khác nhau, không có bộ độc lập nào đạt được giá trị tối ưu của SDP. Đây có thể là trường hợp nếu đồ thị không hoàn hảo. Bạn có thể làm cho nó rõ ràng hơn những gì bạn yêu cầu cho "bộ độc lập thực tế" của bạn?

— Yoshio Okamoto

Tôi muốn có được tập độc lập lớn nhất thay vì "kích thước của tập độc lập lớn nhất"

— Yaroslav Bulatov

Cảm ơn đã làm rõ, nhưng tôi vẫn đang tự hỏi. SDP cho mức cắt tối đa được sử dụng để tính gần đúng. Cụ thể, làm tròn ngẫu nhiên cho một vết cắt có giá trị "gần" với giá trị cắt tối ưu, không nhất thiết phải là mức cắt tối đa thực sự. Nếu bạn cần một kỹ thuật tương tự, tôi đoán những gì bạn thực sự muốn là một bộ độc lập có kích thước gần với số độc lập. Hoặc, bạn tập trung vào các biểu đồ hoàn hảo, hoặc muốn đối phó với các biểu đồ chung?

— Yoshio Okamoto

Tôi muốn tìm Bộ độc lập tối đa trong đồ thị hoàn hảo. ipsofacto đưa ra một giải pháp, nhưng nó đòi hỏi phải giải quyết một số SDP

— Yaroslav Bulatov

Câu trả lời:

Tôi tin rằng SDP là kỹ thuật duy nhất được biết để giải quyết vấn đề tập độc lập tối đa trên các biểu đồ hoàn hảo. Để có được bộ độc lập, người ta có thể làm như sau. Đoán xem một đỉnh nằm trong tập độc lập, xóa nó và giải SDP. Nếu nó trả về cùng một giá trị, thì có một tập độc lập không có đỉnh này. Vì vậy, làm cho đỉnh này liền kề với tất cả các đỉnh khác, và tiếp tục. Điều này sẽ cung cấp cho bạn một bộ độc lập thực tế.

Mặt khác, chúng tôi đã xác định một đỉnh của tập độc lập và chúng tôi có thể xóa nó và tiếp tục trên biểu đồ còn lại.

— ipsofacto
nguồn

Hơn nữa, điều này đã được triển khai và hoạt động khá tốt (với một số tối ưu hóa): E. Alper Yıldırım và Xiaofei Fan-Or817owski, Trích xuất các bộ ổn định tối đa trong đồ thị hoàn hảo bằng chức năng Theta của Lovász , Tối ưu hóa tính toán và các ứng dụng 33 , 229. . dx.doi.org/10.1007/s10589-005-3060-5

— András Salamon

Thật thú vị ... có vẻ như sự hoàn hảo là không bắt buộc đối với ước tính số độc lập của SDP là chính xác (đây là ví dụ mathoverflow.net/questions/57336/ trộm ), do đó, điều này sẽ hoạt động cho một lớp đồ thị lớn hơn

— Yaroslav Bulatov

@ Nam Tư: Bạn nói đúng, sự hoàn hảo là không bắt buộc. Nhưng nếu bạn điều chỉnh chiến lược mà ipsofacto đề xuất, bạn sẽ cần xóa các đỉnh cũng có cùng thuộc tính. Điều kiện này được tự động thỏa mãn nếu đồ thị hoàn hảo, nhưng nếu không, bạn cần phải cẩn thận.

— Yoshio Okamoto

Tôi không chắc nếu bình luận của Lovasz vẫn còn. Đã có một số công việc gần đây về vấn đề này (và có liên quan) trên các biểu đồ hoàn hảo. Bạn nên xem liên kết sau để biết các kỹ thuật liên quan đến việc truyền thông điệp thay vì giải quyết SDP: http://www.cs.columbia.edu/~jebara/ con / uai09perinf.pdf

— Nicholas Ruozzi
nguồn

Một điều thú vị, tôi có hiểu chính xác rằng nếu sản phẩm tối đa hội tụ trên một biểu đồ hoàn hảo, thì giải mã tham lam sẽ phục hồi tập độc lập tối đa không?

— Yaroslav Bulatov

Tôi đã đọc lướt giấy, nhưng tôi không thể tìm ra cách các phương pháp giải quyết vấn đề tập độc lập tối đa cho các đồ thị hoàn hảo trong thời gian đa thức. Số lượng các nhóm tối đa có thể là số mũ trong một biểu đồ hoàn hảo và do đó thời gian chạy trong Hệ quả 1 và 2 không phải là đa thức. Mặc dù tôi không hiểu nội dung của Phần 7 rất nhiều, nhưng tôi không thấy vấn đề tối ưu hóa tuyến tính nào mà phương pháp trong Phần 7 giải quyết. Các thí nghiệm được thực hiện cho bài toán khớp tối đa, nhưng không phải cho bài toán đặt độc lập tối đa.

— Yoshio Okamoto

@yoshio Bạn nói đúng. LP cho MWIS được biết là không thể thiếu nếu bạn bao gồm các ràng buộc thích hợp đối với tất cả các nhóm (theo cấp số nhân). Và đó là sự hoàn hảo của đồ thị clique mà bài báo thảo luận. Có vẻ như các tác giả chỉ phỏng đoán rằng sản phẩm tối đa trên NMRF luôn tạo ra sự gán MAP chính xác.

— Nicholas Ruozzi

Cảm ơn. Sau đó, tôi có thể giả sử rằng bài báo không đưa ra thuật toán đa thức thời gian cho bài toán đặt độc lập tối đa cho các đồ thị hoàn hảo không?

— Yoshio Okamoto

@YoshioOkamoto: có vẻ như vậy. Một bài báo gần đây đưa ra một ví dụ về một biểu đồ hoàn hảo trong đó phương pháp này hội tụ đến giải pháp sai. Hình 3 của "Xem lại ước tính MAP, truyền thông điệp và đồ thị hoàn hảo" ( datalab.uci.edu/ con /AISTATS_perinf_graphs.pdf )

— Yaroslav Bulatov