Ảnh hưởng của các hoạt động đồ thị khác nhau tại kết nối đại số của đồ thị laplacian?

Kết nối đại số của đồ thị G là giá trị riêng nhỏ thứ hai của ma trận Laplacian của G. Giá trị riêng này lớn hơn 0 khi và chỉ khi G là đồ thị được kết nối. Độ lớn của giá trị này phản ánh mức độ kết nối của biểu đồ tổng thể.

ví dụ: " thêm các vòng lặp " không thay đổi giá trị bản địa laplacian (kết nối đại số đặc biệt) của đồ thị. Bởi vì, laplacian (G) = DA là bất biến đối với việc thêm các vòng lặp tự.

Câu hỏi của tôi là:

Có ai đã nghiên cứu ảnh hưởng của các hoạt động khác nhau (chẳng hạn như co rút cạnh) trên phổ của laplacian? Bạn có biết tài liệu tham khảo tốt?

Ghi chú: định nghĩa chính xác của kết nối đại số phụ thuộc vào loại Laplacian được sử dụng. Đối với câu hỏi này, tôi thích sử dụng định nghĩa của Fan Chung trong LÝ THUYẾT SPECTRAL . Trong cuốn sách này, Fan Chung đã đưa ra một phiên bản thay đổi kích thước của Laplacian, loại bỏ sự phụ thuộc vào số lượng đỉnh.

graph-theory co.combinatorics spectral-graph-theory

— js
nguồn

Nó sẽ giúp nếu bạn cung cấp một số động lực và nền tảng. Xin vui lòng xem Làm thế nào để hỏi một câu hỏi hay? và Câu hỏi thường gặp của trang web .

— Kaveh

Tôi cũng quan tâm đến trường hợp co thắt cạnh. Tôi đã dành một chút thời gian trước đây để cố gắng tìm các tài liệu tham khảo về mối quan hệ giữa giá trị bản địa và các hoạt động nhỏ, nhưng không thành công.

— Hsien-Chih Chang 張顯之

Đối với tôi, động lực có vẻ khá rõ ràng.

— Suresh Venkat

Tôi thứ hai Suresh, biết rằng các hoạt động khác nhau ảnh hưởng đến Laplacian rất thú vị và bản thân vấn đề này xuất hiện trong nhiều bối cảnh khác nhau.

— Marcin Kotowski

Hoạt động trực giác bảo tồn kết nối sẽ không làm giảm giá trị bản địa. Ví dụ: thêm các cạnh vào biểu đồ không làm giảm kết nối.

Nói chung, nếu H là một sơ đồ con của đồ thị G, bằng cách xen kẽ chúng ta biết rằng giá trị riêng của Laplacian lớn nhất của H không lớn hơn giá trị riêng của Laplacian lớn nhất của G. Một bằng chứng có thể được tìm thấy trong Dự luật 3.2. 1 trong cuốn sách " Quang phổ đồ thị " của Brouwer và Haemers. Lưu ý rằng định nghĩa của Laplacian được sử dụng trong cuốn sách không được chuẩn hóa; nó có độ nút trên đường chéo và -1 (hoặc 0 nếu không có cạnh) trong các mục ngoài đường chéo.

— Hsien-Chih Chang 張顯
nguồn

Cảm ơn Chang. Câu trả lời của bạn thực sự hữu ích cho tôi. Nhưng nếu chúng ta sử dụng định nghĩa Laplacian không được chuẩn hóa, thì nhiều so sánh dường như là vô nghĩa. Ví dụ: chúng ta có Kết nối đại số (K10) = 10 và Kết nối đại số (K20) = 20. tuy nhiên, cả hai biểu đồ đều được kết nối đầy đủ các biểu đồ đơn giản. Nhưng nếu chúng ta sử dụng Laplacian được chuẩn hóa, thì NormalizedAlgebraicConnectivity (K10) = NormalizedAlgebraicConnectivity (K20) = 1 và do đó so sánh phiên bản chuẩn hóa có vẻ hợp lý và tự nhiên hơn.

— js

@behnam: Tôi đồng ý với bạn. Nhưng sau khi chuẩn hóa, một số tính chất không tăng có thể khác nhau. (Giả sử người ta có thể đảm bảo giảm nghiêm ngặt đối với Laplacian lớn nhất khi xóa các cạnh cho những người không chuẩn hóa, nhưng không phải cho những người bình thường hóa.)

— Hsien-Chih Chang 之

Θ (n^{2})

$\Theta(n^2)$

Θ (n^{3})

$\Theta(n^3)$

@TysonWilliams Bạn nói rất đúng. Đây là một trong những khía cạnh lý thuyết mà Laplacian bình thường hóa và không chuẩn hóa khác nhau. Bằng cách thêm các cạnh, kết nối đại số không chuẩn hóa luôn tăng (Fiedler), nhưng có những ví dụ (thậm chí không khó lắm) cho thấy các cạnh được thêm vào sai vị trí có thể làm giảm kết nối. Điều này đặc biệt dễ dàng để xem nếu bạn cho phép trọng lượng cạnh.

— Delio M.