Chu kỳ mạng tự tránh ngẫu nhiên trong một hộp giới hạn nhất định

$n\times n$

Một cách để làm điều này là sử dụng chuỗi Markov có các trạng thái là các tập hợp hình vuông có ranh giới đơn giản và các chuyển đổi của nó bao gồm chọn một hình vuông ngẫu nhiên để lật và giữ lật khi tập hợp các hình vuông được sửa đổi vẫn có một chu kỳ đơn giản như ranh giới của nó. Người ta có thể nhận được từ bất kỳ chu kỳ đơn giản nào đến bất kỳ chu trình nào khác theo cách này (sử dụng kết quả tiêu chuẩn về sự tồn tại của lớp vỏ) để điều này cuối cùng hội tụ thành một phân phối đồng đều, nhưng nhanh như thế nào?

Ngoài ra, có một chuỗi Markov tốt hơn, hoặc một phương pháp trực tiếp để chọn các chu kỳ đơn giản?

ETA: Xem bài đăng trên blog này để biết mã số để tính số chu kỳ tôi đang tìm kiếm và con trỏ tới OEIS cho một số các số này. Như chúng ta đã biết, việc đếm gần giống như thế hệ ngẫu nhiên và tôi suy luận từ việc không có bất kỳ mô hình rõ ràng nào trong các yếu tố của những con số này và việc thiếu một công thức trong mục OEIS không chắc là phương pháp trực tiếp đơn giản đã biết . Nhưng điều đó vẫn để lại câu hỏi về việc chuỗi này hội tụ nhanh như thế nào và liệu có một chuỗi mở rộng tốt hơn không.

— David Eppstein
nguồn

Ranh giới của các tập hợp được tính theo trình tự OEIS không nhất thiết là các chu kỳ đơn giản, ví dụ cho 3x3, một trong số 218 có tất cả các hình vuông ngoại trừ phần giữa và bốn phần khác được đưa ra bằng cách xóa thêm một góc.

— Colin McQuillan

Đối với lưới 2xn, các số được đưa ra trong oeis.org/A059020 . Đối với 3xn, tôi khá chắc chắn rằng họ là 6,40,213,1049,5034,23984,114069,542295,2577870,12253948,58249011,276885683,1316170990,6256394122,29739651711,1413668742 Tôi đã thiết lập ma trận chuyển để tính toán bằng tay nhưng tôi đã so sánh nó với ma trận do máy tạo ra và mục nhập duy nhất mà chúng khác nhau là một tay đúng và một máy sai. (Điều này sẽ xuất hiện trong trường hợp 3x3 - ma trận máy sẽ cho phép một octomino có lỗ ở giữa.)

— David Eppstein

Bạn nên gửi chuỗi đó đến Neil Sloane để anh ấy có thể đưa nó vào OEIS.

— Peter Shor

@David: Cảm ơn bạn. Có lẽ, đã đến lúc tôi tìm hiểu phương pháp ma trận chuyển giao kỹ lưỡng hơn.

— Yoshio Okamoto

@David: Bạn vừa lãng phí hai giờ trong cuộc đời tôi với liên kết đó đến câu đố .. Thx!

— domotorp

Có vẻ như vì bạn chỉ sử dụng số đếm cho số chu kỳ trong biểu đồ để chọn ngẫu nhiên một chu kỳ, nên nếu bạn có xấp xỉ ngẫu nhiên cho số này, thì bạn vẫn có thể chọn một chu kỳ xấp xỉ đồng đều.

$G$ $(u, v)$ $G - (u, v)$ $u$ $v$ $G - (u, v)$ $u$ $v$ $G$

$G$ $n \times n$ $(u, v)$ $u$ $v$ $G$ $(u, v)$

$C$ $v_s$ $v_e$ $N$ $v_e$ $C$ $u \in N$ $u$ $v_s$ $G[V - (C - \{v_s, v_e \} ) ]$ $u$ $v_e$ $(v_e, u)$

Theo cách này, một số cạnh đa thức được chọn, mỗi cạnh yêu cầu một số lượng nhỏ các phép tính của thuật toán xấp xỉ thời gian đa thức. Do đó, một chu kỳ có thể được lựa chọn thống nhất.

Tôi hiện đang có một câu hỏi stackexchange yêu cầu tài liệu tham khảo cho các thuật toán xấp xỉ số lượng đường dẫn nhanh. Tôi đã đọc ở một vài nơi rằng các thuật toán này tồn tại nhưng chưa tìm thấy chúng.

— bbejot
nguồn