Đường dẫn tối thiểu bao gồm vấn đề

Chúng tôi đang làm việc trong các máy tính phân tán và chúng tôi đã đưa ra một vấn đề phức tạp giúp giảm thiểu vấn đề về đường dẫn tối thiểu. Chúng tôi hiện không biết làm thế nào để giải quyết nó. Vấn đề là như sau:

Đặt là một số nguyên và cho là một đồ thị chứa các đỉnh . Chúng tôi dán nhãn cho mỗi đỉnh với một cặp sao cho . Sau đây, chúng tôi đặt tên cho các đỉnh bằng cách sử dụng nhãn của họ. Tập hợp các cạnh trong được xác định như sau: . $k$ $Z_k$ $\frac{k(k+1)}{2}$ $(i,j)$ $1 \leq i \leq j \leq k$ $Z_k$ $\{ ((i,j),(i',j')) | i' >i \land j' \geq i \}$

Đường dẫn tối thiểu bao phủ gì? $Z_k$

Đọc "Các vấn đề về che phủ đường dẫn trong bản đồ và ứng dụng để kiểm tra chương trình" của Ntafos et al. , chúng ta đã thấy rằng đường dẫn tối thiểu bao phủ bằng với hồng y của tập đỉnh không thể so sánh lớn nhất. Chúng tôi đã suy nghĩ về tập hợp sau: có một hồng y là . $S= \{ (i,j) : i \geq k/2 \land j < k/2 \}$ $\frac{k^2}{4}-\frac{k}{2}$

Trân trọng,

Pierre

graph-theory co.combinatorics application-of-theory

— Pierre
nguồn

nó có nên là thay vì trong định nghĩa của cạnh không?

j^{'} \geq j

$j' \ge j$

j^{'} \geq i

$j' \ge i$

Z_{k}

$Z_k$

— Suresh Venkat

Có vẻ như biểu đồ của bạn là một DAG đóng liên tục, phải không? Nếu vậy (và đây có lẽ là sự phân chia lại những gì bạn nói trong trích dẫn của bạn về Ntafos et al), số lượng đường dẫn tối thiểu cần thiết để bao phủ DAG chỉ là số lượng tối đa các yếu tố không thể so sánh được theo cặp; đây là định lý của Dilworth .

Ví dụ của bạn có thể đủ đơn giản để người ta có thể xác định trực tiếp tập hợp không thể so sánh tối đa này, nhưng nói chung có thể tìm thấy tập hợp này trong thời gian đa thức, bằng một thuật toán dựa trên khớp đồ thị. Phần "Chứng minh qua định lý của König" trong bài viết trên Wikipedia về định lý của Dilworth giải thích như thế nào.

— David Eppstein
nguồn