Cắt tối đa bình phương Euclide ở kích thước thấp

$x_1, \ldots, x_n$ $\mathbb{R}^2$ $\|x_i - x_j\|^2$ $\frac 2 3$ $\frac 2 3$

Ví dụ tồi tệ nhất mà tôi có thể tìm thấy là 3 điểm trên một tam giác đều, đạt được . Lưu ý rằng việc phân chia ngẫu nhiên sẽ tạo ra , nhưng dường như rõ ràng bằng trực giác rằng ở kích thước thấp, người ta có thể phân cụm tốt hơn ngẫu nhiên. $\frac 2 3$ $\frac 1 2$

Điều gì xảy ra với max-k-cut cho k> 2? Làm thế nào về một chiều d> 2? Có một khuôn khổ để trả lời các câu hỏi như vậy? Tôi biết về sự bất bình đẳng của Cheeger, nhưng những điều này áp dụng cho cắt giảm ít nhất (không phải cắt tối đa) và chỉ hoạt động cho các biểu đồ thông thường.

(Câu hỏi được lấy cảm hứng từ vấn đề phân cụm các nguồn sáng trong đồ họa máy tính để giảm thiểu phương sai).

— Milos Hasan
nguồn

Có một xấp xỉ 1-2 / k đơn giản cho Max k-Cut và với k> 2, bạn có thể tìm thấy một vết cắt lớn tốt nhưng với k = 2, bạn có thể thấy www-math.mit.edu/~goemans/PAPERS/maxcut -jacm.pdf và các chủ đề liên quan, tôi nghĩ rằng nếu bạn tìm thấy một cắt giảm tốt với xác suất hi bạn có thể nói có một vết cắt với 2/3 hay không, ít nhất là phạm vi khả năng sẽ bị hạn chế.

— Saeed

tuy nhiên lưu ý rằng hàm trọng số ở đây là khoảng cách euclide SQUARED, không phải là một số liệu.

— Suresh Venkat

Tôi đoán rằng max cut có ptas, hoặc thậm chí có thể là thuật toán polytime cho các trường hợp này, nhưng câu hỏi cụ thể là rất thú vị. Có phải rõ ràng mức cắt tối đa là gì khi các đỉnh được đặt cách đều nhau trong một chu kỳ và ví dụ trong lớp này giảm thiểu mức cắt tối đa là ba đỉnh cách đều nhau không? Bởi vì có thể có một đối số cho thấy rằng mọi cấu hình điểm đều có thể được chuyển đổi thành cấu hình 'đối xứng' mà không tăng tỷ lệ cắt tối đa trên tổng trọng số, và do đó, chỉ có thể hiểu được cấu hình đối xứng cao

— Luca Trevisan

Ngoài ra, những gì xảy ra trong một chiều? Có thể tìm thấy cấu hình mà mức cắt tối đa xấp xỉ 2/3 tổng trọng lượng (một điểm là -1, một điểm là +1, 4 điểm rất gần với 0; tổng trọng lượng là 12 và tối ưu là 8). Là 2/3 tỷ lệ nhỏ nhất có thể cắt tối đa trên tổng trọng lượng trong 1 chiều?

— Luca Trevisan

@Luca: Vâng, 1D cũng không tầm thường. Theo trực giác, hằng số sẽ tiến gần đến 1/2 khi kích thước tăng. Đối với trường hợp 2D, chúng ta có thể giả sử rằng trọng tâm là (0,0) và tất cả các điểm phù hợp trong vòng tròn đơn vị. Có thể có một số đối số "lực đẩy điểm" đẩy các điểm về phía vòng tròn đơn vị trong khi không tăng trọng lượng cắt, điều này sẽ giúp ích, nhưng tôi không thể ghim nó xuống.

— Milos Hasan

Câu trả lời:

Hằng số có xu hướng 1/2 khi kích thước tăng. Trong các kích thước d, bạn có thể có d + 1 điểm ở khoảng cách nhau, do đó tổng bình phương khoảng cách là và mức cắt tối đa nhiều nhất là , là một phần của tổng trọng lượng ${d+1 \choose 2}$ $(d+1)^2/4$ $\frac 12 \cdot \frac {d+1}{d}$

— Luca Trevisan
nguồn

OK, nhưng tại sao cấu hình của d + 1 điểm ở khoảng cách 1 với nhau tạo thành trường hợp xấu nhất? Điều này có vẻ hợp lý, nhưng nó là rõ ràng? (Và với d = 1, hai điểm ở khoảng cách 1 cách nhau rõ ràng không phải là trường hợp xấu nhất; cấu hình 6 điểm bạn đưa ra ở trên là tồi tệ hơn. Có thể đó là d = 1 là trường hợp bệnh lý duy nhất và nó hoạt động cho d> = 2?)

— Milos Hasan

@milos Tôi không chắc là tôi hiểu. chúng tôi biết rằng 0,5 là có thể đạt được và ví dụ này cho thấy bạn không thể làm tốt hơn. Tuy nhiên, nó không phá vỡ phỏng đoán 2/3 cho máy bay.

— Suresh Venkat

@Suresh: Những gì tôi thực sự sau khi chứng minh rằng bạn có thể làm tốt hơn ở các kích thước thấp, tức là tôi quan tâm đến chuỗi các giá trị thực tế của các hằng số tồi tệ nhất cho các d thấp cụ thể.

— Milos Hasan

Tôi thực sự muốn chứng minh một khoảng cách thực tế giữa 1/2 và 2/3 cho mức thấp d. Điều này sẽ có những hậu quả thú vị, tức là bạn có thể đánh bại tổng hợp / tích hợp Monte Carlo (bằng cách phân tách vấn đề của bạn thành các vấn đề phụ một cách thông minh thay vì ngẫu nhiên), nếu vấn đề của bạn thực chất là chiều thấp (bất kỳ nhiều vấn đề nào).

— Milos Hasan

Mặc dù đây chỉ là một câu trả lời cho d lớn, nhưng nó cho thấy loại khó khăn nào có thể xảy ra trong phân tích trường hợp d nhỏ. Giả sử rằng, trong 2 chiều, bạn có thể có năm điểm có bình phương khoảng cách theo cặp là từ 1 đến 1.1. Sau đó, tổng trọng lượng tối thiểu là 10 và mức cắt tối đa nhiều nhất là 6,6. Nếu 2/3 là câu trả lời đúng cho hai chiều, bạn phải có thể chỉ ra rằng nếu bạn có năm điểm sao cho tất cả các khoảng cách euclide cặp đôi ít nhất là một, một trong các khoảng cách euclide cặp đôi ít nhất là . Làm thế nào để bạn tranh luận rằng?

\sqrt{1.1}

$\sqrt {1.1}$

— Luca Trevisan

Lấy 3 điểm A, B, C trên một tam giác đều và thêm 3 điểm D, E, F, vào giữa. Rõ ràng bạn muốn hai trong số A, B, C ở một bên của vết cắt, vì vậy giả sử vết cắt trên ba điểm này là (AB; C). Bây giờ, mỗi điểm D, E, F phải đi về phía C của vết cắt, do đó, đường cắt tối ưu là (AB; CDEF), và tỷ lệ dễ dàng được kiểm tra là 2/3.

Bây giờ, di chuyển từng điểm D, E, F cách xa tâm một chút để tạo thành một tam giác đều cạnh nhỏ. Không quan trọng là hướng nào, miễn là chúng đối xứng quanh trung tâm. Nếu bạn di chuyển chúng một khoảng cách đủ nhỏ, vết cắt tối ưu vẫn phải là (AB; CDEF). Hãy xem xét chiều dài của vết cắt này. Các cạnh (AC, BC) tạo thành 2/3 tổng chiều dài của các cạnh (AB, BC, AC). Theo đối xứng, tổng chiều dài của các cạnh (AD, AE, AF, BD, BE, BF) bằng 2/3 chiều dài của các cạnh (AD, AE, AF, BD, BE, BF, CD, CE, CF ). Nhưng không có cạnh nào (DE, EF, DF) bị cắt. Vì vậy, tỷ lệ cắt giảm này là ít hơn 2/3.

Bạn sẽ có thể tối ưu hóa cấu trúc này để tìm cấu hình trong đó mức cắt tối ưu nhỏ hơn đáng kể so với 2/3. Thử nó, tôi nhận ra rằng nếu bạn lấy sáu điểm được sắp xếp thành hai hình tam giác đều có cùng tâm, với điểm nhỏ hơn kích thước của hình lớn hơn, thì tối đa -cut trở thành tổng trọng lượng thay vì . $(\sqrt{6}-1)/5 \approx .2899$ $.6408$ $2/3$

— Peter Shor
nguồn

Thật tuyệt, bạn đã đúng! Chà, một phỏng đoán tao nhã khác cắn bụi ... Vẫn là một câu hỏi mở mặc dù hằng số trong mặt phẳng có lớn hơn 1/2 hay bạn có thể đạt được với cụm , trong đó . Tôi sẽ nghĩ về nó nhiều hơn.

1 - O (k^{- α})

$1 - O(k^{-\alpha})$

k

$k$

α > 1

$\alpha > 1$

— Milos Hasan

Tôi đoán là câu trả lời đúng là một cái gì đó không quá thấp hơn so với .64, nhưng tôi không biết làm thế nào để đi về việc hiển thị một giới hạn thấp hơn.

— Peter Shor