Đóng gói hình chữ nhật thành đa giác lồi nhưng không có phép quay

Tôi quan tâm đến vấn đề đóng gói các bản sao giống hệt của hình chữ nhật (2 chiều) thành một đa giác lồi (2 chiều) mà không trùng nhau. Trong vấn đề của tôi, bạn không được phép xoay hình chữ nhật và có thể giả sử rằng chúng được định hướng song song với các trục. Bạn chỉ được cung cấp kích thước của một hình chữ nhật và các đỉnh của đa giác và được hỏi có bao nhiêu bản sao giống hệt của hình chữ nhật có thể được đóng gói vào đa giác. Nếu bạn được phép xoay hình chữ nhật thì vấn đề này được biết là NP-hard tôi tin. Tuy nhiên, những gì được biết nếu bạn không thể? Nếu đa giác lồi chỉ đơn giản là một hình tam giác thì sao? Có các thuật toán gần đúng đã biết nếu vấn đề thực sự là NP-hard?

Tóm tắt cho đến nay (21 tháng 3 năm 11). Peter Shor quan sát rằng chúng ta có thể coi vấn đề này là một trong những hình vuông đơn vị đóng gói trong một đa giác lồi và vấn đề đó nằm ở NP nếu bạn áp đặt một đa thức ràng buộc vào số lượng hình vuông / hình chữ nhật được đóng gói. Sariel Har-Peled chỉ ra rằng có một PTAS cho trường hợp giới hạn đa thức tương tự. Tuy nhiên, nói chung, số lượng hình vuông được đóng gói có thể theo cấp số nhân theo kích thước của đầu vào, chỉ bao gồm một danh sách ngắn các cặp số nguyên. Các câu hỏi sau đây có vẻ là mở.

Là phiên bản không giới hạn đầy đủ trong NP? Có một PTAS cho phiên bản không giới hạn? Là trường hợp giới hạn đa thức trong P hoặc NPC? Và sở thích cá nhân của tôi, vấn đề có dễ dàng hơn không nếu bạn chỉ giới hạn bản thân trong việc đóng gói các hình vuông đơn vị thành một hình tam giác?

Vấn đề có thể được thay đổi công như chọn một số điểm tối đa trong một đa giác lồi, như vậy mà mỗi cặp trong số đó là ở khoảng cách (theo metric) ít nhất$L_\infty$ từ mỗi khác (chỉ cần suy nghĩ về các trung tâm của các hình vuông) . Đến lượt nó lại liên quan đến cùng một vấn đề trong đó người ta sử dụng khoảng cách Euclide thông thường. Điều này đến lượt nó liên quan đến việc chia lưới, trong đó người ta quan tâm đến việc phá vỡ một đa giác thành các khu vực có hành vi độc đáo (nghĩa là bạn lấy sơ đồ Voronoi của các trung tâm [xem phần tessell Voronoi]).$1$

Dù sao, một phép tính gần đúng là khá dễ dàng. Bạn trượt ngẫu nhiên một lưới có độ dài O ( 1 $(1-\epsilon)$ . Kẹp đa giác vào lưới và giải quyết vấn đề bên trong mỗi phần giao nhau của đa giác với lưới bằng lực mạnh. Một thuật toán có thời gian chạy O ( M ∗ n o i s e ( ϵ ) ) nên dễ dàng theo dõi, trong đó M là số điểm (nghĩa là hình chữ nhật) và n o i s e $O(1/\epsilon)$$O(M*noise(\epsilon))$$M$$noise(\epsilon)$là một số chức năng khủng khiếp mà chỉ phụ thuộc vào .$\epsilon$

Hai giấy tờ giải quyết vấn đề của bạn:

EG Birgin và RD lobato, " Đóng gói trực giao các hình chữ nhật giống hệt nhau trong các vùng lồi đẳng hướng ", Máy tính & Kỹ thuật công nghiệp 59, trang 595-602, 2010. 

EG Birgin, JM Martínez, FH Nishihara và DP Ronconi, " Đóng gói trực giao các mặt hàng hình chữ nhật trong các vùng lồi tùy ý bằng cách tối ưu hóa phi tuyến ", Nghiên cứu Máy tính & Vận hành 33, trang 3535-3548, 2006.

Peter Shor quan sát thấy rằng bằng cách thay đổi kích thước, vấn đề này trở thành về việc đóng gói các hình vuông đơn vị thành một đa giác lồi.

Chỉnh sửa: phần còn lại của câu trả lời này không áp dụng, vì nó bỏ yêu cầu được nêu rõ ràng rằng các hình dạng được đóng gói đều có cùng kích thước.

Câu hỏi liên quan NP-Độ cứng của một trường hợp đặc biệt của vấn đề đóng gói trực giao đề cập đến một bài báo với kết quả cần thiết cho câu hỏi đầu tiên:

• Đóng gói hình vuông thành hình vuông, Joseph YT. Leung, Tommy W. Tam, CS Wong, Gilbert H. Young và Francis YL Chin, Tạp chí tính toán song song và phân tán 10 271 phản275. ( liên kết )

Từ tờ giấy:

chúng tôi chỉ ra rằng vấn đề đóng gói vuông hoàn toàn NP bằng cách giảm vấn đề 3 phân vùng cho nó.

Do đó, vấn đề là NP-hard ngay cả đối với trường hợp đặc biệt trong đó các hình chữ nhật được đóng gói là tương tự container. (Không giống như các tác giả của bài viết này, tôi không hoàn toàn tin rằng vấn đề nằm ở NP, vì các vị trí có thể phải được chỉ định với một độ chính xác lớn, điều này có thể khiến việc xác minh không còn là đa thức trong kích thước đầu vào. )

Có lẽ bài báo này có thể được bạn quan tâm:

Ốp một hình đa giác với hình chữ nhật của Kenyon & Kenyon trong FOCS 92.

Nếu đa giác mà bạn muốn đóng gói không nhất thiết phải lồi, thì tôi nghĩ vấn đề trở thành NP-hard. Đây là một bằng chứng rất sơ sài. Việc giảm là từ một số vấn đề loại Planar-3-SAT. Với mỗi biến bạn có thể có một vị trí 1,1 x 1, tùy thuộc vào vị trí trong khu vực này, bạn đặt một ô vuông sẽ xác định xem biến của bạn có đúng sai hay không. Ngoài ra, nếu bạn để lại .1 khu vực bên trái / bên phải, thì bạn có thể di chuyển hai hình vuông khác vào bên trong một chút, và cả những hình phía sau chúng, cuối cùng tạo ra một không gian trống .1 khác ở đâu đó mà bây giờ cùng nhau ảnh hưởng đến bốn hình vuông. Sau khi bạn có nhiều bản sao như số lần xuất hiện của chữ tương ứng, bạn kết nối các ống này với thành phần mệnh đề tương ứng và một lần nữa sử dụng một số tiện ích tương tự để đảm bảo rằng từ ba ống đang phát sinh, ít nhất một ống phải có thêm 1 khoảng trống.