Các thuật toán đa thức cho UPB (Cơ sở sản phẩm không thể mở rộng)

9

Hãy xem xét một không gian Hilbert . Cơ sở sản phẩm không thể mở rộng (UPB) là một tập hợp các vectơ sản phẩm sao cho: $H = H_1 \otimes \dots \otimes H_n$ $\vert v_i \rangle = \vert v_i^1 \rangle \otimes \dots \otimes \vert v_i^n \rangle$

a) tất cả là trực giao lẫn nhau $\vert v_i \rangle$

b) không có vectơ trực tiếp cho tất cả $\vert v_i \rangle$

c) cơ sở là không cần thiết, tức là không kéo dài $H$

(những cơ sở như vậy được quan tâm trong thông tin lượng tử)

Câu hỏi:

Có một thuật toán đa thức (tính bằng ) để tìm UPB không? (lưu ý rằng nhìn chung không có giới hạn trên về kích thước của UPB, do đó, một ưu tiên có thể là số mũ trong ) $n$ $n$
Có một thuật toán đa thức để kiểm tra xem một cơ sở sản phẩm nhất định có phải là UPB không? (tức là không thể tha thứ được)

Hay là vấn đề NP-hoàn thành?

quantum-computing linear-algebra quantum-information

— Marcin
nguồn

Tôi bối rối ... liệu cơ sở tiêu chuẩn cho H có thỏa mãn điều kiện UPB trong mọi trường hợp không? Hoặc có một số điều kiện khác tôi đang thiếu.

— Artem Kaznatcheev

1

H_{1} \otimes \dots \otimes H_{n}

$H_1 \otimes \ldots \otimes H_n$

7

$H_1 \otimes H_2 \otimes \ldots \otimes H_n$ $n\geq 3$ $n=2$ $\dim H_1, \dim H_2 \geq 3$

Đối với câu hỏi (2), câu hỏi tương đương với việc kiểm tra xem có trạng thái sản phẩm tenor trong không gian con là phần bổ sung của không gian được kéo dài theo cơ sở hay không. Leonid Gurvits đã chỉ ra rằng việc kiểm tra xem một không gian con chung có chứa trạng thái sản phẩm tenor là NP-hard hay không, vì vậy tôi nghi ngờ rằng nó cũng khó trong trường hợp này.

— Peter Shor
nguồn

có, nhưng tôi có khả năng quan tâm đến việc tìm kiếm càng nhiều bất tương đương (giả sử, liên quan đến các tổ chức phi chính phủ địa phương) càng tốt. Phân loại đầy đủ chỉ được biết đến cho các trường hợp đơn giản như 2x2x2.

— Marcin Kotowski

4

Phân loại đầy đủ cũng được biết đến với một trường hợp đơn giản 3x3 khác, đây là lần đầu tiên được đề cập trong bài báo http://arxiv.org/abs/quant-ph/9808030 .

Kết quả cũng liên quan đến việc xây dựng các trạng thái vướng mắc 3x3 PPT tùy ý của cấp bốn. Xem giấy

http://arxiv.org/abs/1105.3142 .

— Lâm Chen
nguồn